《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

19.(8分)二次函数的图象经过点$A(0,-3),B(2,-3),C(-1,0)$.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)求此二次函数图象的顶点坐标;
(3)把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_______个单位,可使该图象的顶点在原点.

答案： 解:
(1)设此二次函数解析式为y=ax²+bx+c,把点A(0,−3),B(2,−3),C(−1,0)代入,得c=−3,　　　　　　　a=1,
　　　{4a+2b+c=−3,解b=−2,
∴y=x²−2x−3.　
(2)y=x²−2x−3=(x−1)²−4,
∴顶点坐标a−b+c=0,　　　　　c=−3,
　　　为(1,−4).　
(3)5

20.(10分)若两个二次函数图象的对称轴相同,则称这两个二次函数为“同轴二次函数”.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同源二次函数”.
(1)请用$y = a(x + m)^{2}+k$的形式直接写出$y = -3x^{2}+6x - 5$的一个同源二次函数$y = -3(x - 1)^{2}-2$;
(2)已知二次函数$y_{1} = 2x^{2}-4x + 3,y_{2} = ax^{2}+bx + c(a\neq0),y_{1}+y_{2}$与$y_{1}$为同源二次函数,求证:$y_{1}$与$y_{2}$是同轴二次函数.

答案：
(1)解:y=−(x−1)²−2(答案不唯−)　解析:y=−3x²+6x−5=−3(x²−2x+1)−2=−3(x−1)2−2,根据“同源二次函数”的定义,可知m=−1,k=−2,a可取任意负值.　
(2)证明:0y=2x²-4x+3=2(x−1)²+1,其顶点坐标为(1,1),对称轴为直线x=1.y+y2=(a+2)x²+(b−4)x+c+3.
∵y+y2与y为同源二次函数，
∴y+y2=(a+2)(x−1)²+1=(a+2)x²−2(a+2)x+a+3,
∴−2(a+2)=b−4,a+3=c+3,
∴b=−2a,c=a,
∴y2=ax²−2ax+a=a(x−1)²,对称轴为直线x=1,
∴y与y2是同轴二次函数.