《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

7. 如图,点$A,B$分别是反比例函数$y = \frac{k}{x}$与正比例函数$y = k_1x,y = k_2x$的交点,过点$A$作$x$轴的垂线$AC$,垂足为$C$,线段$AC$与直线$y = k_2x$交于点$D$,若$\triangle ADO$的面积为4,点$D$为线段$OB$的三等分点,则$k$的值为 ( )


A. $\frac{9}{2}$
B. 4
C. 8
D. 9

答案： 解析：连接AB，过点B作BE⊥x轴于点E.
∵$S_{\triangle AOD}=4$，点D为线段OB的三等分点，
∴$S_{\triangle AOB}=3S_{\triangle AOD}=3×4 = 12$，
∵$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{梯形ABEC}-S_{\triangle BOE}$，且点A，B在反比例函数图象上，AC⊥x轴，BE⊥x轴，
∴$S_{\triangle AOC}=S_{\triangle BOE}$，
∴$S_{梯形ABEC}=S_{\triangle AOB}=12$. 设$A(x,\frac{k}{x})$，则点$B(3x,\frac{k}{3x})$，
∴$\frac{1}{2}(\frac{k}{x}+\frac{k}{3x})(3x - x)=12$，解得k = 9.

8. 如图,$A(0,1),B(1,5)$,曲线$BC$是双曲线$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$的一部分. 曲线$AB$与$BC$组成图形$G$. 由点$C$开始不断重复图形$G$形成一条“波浪线”. 若点$P(2025,m),Q(x,n)$在该“波浪线”上,则$m$的值及$n$的最大值为 ( )


A. $m = 1,n = 1$
B. $m = 5,n = 1$
C. $m = 1,n = 5$
D. $m = 1,n = 4$

答案： 解析：
∵B(1,5)在$y = \frac{k}{x}$的图象上，
∴k = 1×5 = 5. 当x = 5时，$y = \frac{5}{5}=1$.
∴C(5,1). 又
∵2025÷5 = 405，
∴m = 1.
∵Q(x,n)在该“波浪线”上，
∴n的最大值是5.

9. 如图,反比例函数$y = -\frac{4}{x}$在第二象限的图象上有两点$A,B$,它们的横坐标分别为$-1,-2$,在直线$y = x$上求一点$P$,使$PA + PB$最小,则点$P$的坐标为 ( )


A. $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
B. $(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$
C. $(1,1)$
D. $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$

答案： 解析：由题易得点A(－1,4)，B(－2,2). 作点B关于直线y = x的对称点C(2，－2)，连接AC交直线y = x于点P，则点P即为使PA + PB最小的点. 设直线AC的解析式为y = kx + b，代入A，C两点坐标，得$\begin{cases}-k + b = 4\\2k + b = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 2\end{cases}$，
∴直线AC的解析式为y = －2x + 2. 联立$\begin{cases}y = -2x + 2\\y = x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{2}{3}\end{cases}$，
∴点P的坐标为$(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$.

10. 学校的自动饮水机,开机加热时每分钟上升$10^{\circ}C$,加热到$100^{\circ}C$,停止加热,水温开始下降. 此时水温$y(^{\circ}C)$与通电时间$x(min)$成反比例关系. 当水温降至$20^{\circ}C$时,饮水机再自动加热,若水温在$20^{\circ}C$时接通电源,水温$y$与通电时间$x$之间的关系如图所示,则下列说法中正确的是 ( )


A. 水温从$20^{\circ}C$加热到$100^{\circ}C$,需要7 min
B. 水温下降过程中,$y$与$x$的函数关系式是$y = \frac{400}{x}$
C. 上午8点接通电源,可以保证当天9:30能喝到不超过$40^{\circ}C$的水
D. 在一个加热周期内水温不低于$30^{\circ}C$的时间为$\frac{77}{3}$ min

答案： 解析：
∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃所需时间为$\frac{100 - 20}{10}=8$min，故A不正确；由题可得，(8,100)在反比例函数图象上，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是$y = \frac{800}{x}$，故B不正确；令y = 20，则$\frac{800}{x}=20$，解得x = 40，即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，从8点到9点30分，所用时间为90分钟，而水温加热到100℃，仅需要8分钟，故当时间是9点30分，饮水机第三次加热，从20℃加热了8分钟，接着开始降温. 令x = 10，则$y=\frac{800}{10}=80℃＞40℃$，故C不正确；水温从20℃加热到30℃所需的时间为$\frac{30 - 20}{10}=1$min，令y = 30，则$\frac{800}{x}=30$，解得$x = \frac{80}{3}$，
∴水温不低于30℃的时间为$\frac{80}{3}-1=\frac{77}{3}$min，故D正确. 点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数与反比例函数图象，数形结合是解决本题的关键.

11. 已知$y$与$\sqrt{x}$成反比例,当$y = 1$时,$x = 4$,则当$x = 2$时,$y =$______.

答案： $\sqrt{2}$

12. 对于反比例函数$y = -\frac{10}{x}$,当$y\geq2$时,$x$的取值范围是____________.

答案： －5≤x＜0

13. 反比例函数$y = \frac{4n - 9}{x^{10 - n^2}}$的图象在每一个象限内,$y$随$x$的增大而增大,则$n =$______.

答案： －3