《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

20. (10分)有一个抛物线型蔬菜大棚,将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中,抛物线可以用函数$y = ax^{2}+bx$来表示,已知$OA = 8$米,距离$O$点2米处的棚高$BC$为$\frac{9}{4}$米.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若借助横梁$DE(DE// OA)$建一个门,要求门的高度为1.5米,求横梁$DE$的长度是多少米?

答案：
解:
(1)由题意可得,抛物线经过(2,$\frac{9}{4}$),(8,0),故,解得，
故抛物线解析式为y=−$\frac{3}{16}$x²+$\frac{3}{2}$x.　
(2)由题意可得:当y=1.5时，−$\frac{3}{16}$x²+$\frac{3}{2}$x=1.5,解得x1=4+2$\sqrt{2}$,x2=4−2$\sqrt{2}$
∴DE=x−x2=4+2$\sqrt{2}$−(4−2$\sqrt{2}$)=4$\sqrt{2}$

21. (10分)如图,$AB$和$BC$组成圆的折弦,$AB\gt BC$,$D$是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,$DE\perp AB$于点$E$.连接$AD$,$AC$,$BD$.
(1)写出所有与$\angle DBA$相等的角__________(不添加任何线段);
(2)判断$AE$,$BE$,$BC$之间的数量关系并证明;
(3)如图,已知$AD = 7$,$BD = 3$,求$AB\cdot BC$的值.

答案：
解:
(1)∠DAC　
(2)AE=BE+BC.　证明:如图,在线段EA上截取EP=BE.
　
∵BE=EP,DE⊥AB,
∴DE是BP的垂直平分线，
∴BD=DP,
∴∠DBP=
　　　∠DPB.
∵点D是ABC的中点，
∴AD=CD,CD=AD.
∵∠DBP=∠ACD,
∴
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠DBP=∠DAC.
∵∠DPB=∠PDA+∠DAP,∠DAC=∠BAC+∠DAP,
　
∴∠PDA=∠BAC.
∵∠BAC=∠BDC,
∴∠BDC=∠PDA,
∴△BCD≌
　　　△PAD(SAS),
∴BC=PA,
∴BC+BE=AP+EP,即AE=BE+BC.
(3)
∵DE⊥AB,
∴AD²=AE²+DE²,BD²=BE²+DE²,
∴AD²−BD²=AE²−BE²=(AE+BE)
　　　(AE−BE)=AB.BC=7²−3²=40,