《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23. (12分)根据以下素材,探索完成任务.
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案?
素材1 图1中有一座拱桥,图2是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽40 m,拱顶离水面8 m. 据调查,该河段水位在此基础上再涨2.1 m达到最高.

素材2 为迎佳节,拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼,如图3. 为了安全,灯笼底部距离水面不小于1 m;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼,且挂满后成轴对称分布.

问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系,求抛物线的函数表达式.
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中,仅在安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量,并根据你所建立的坐标系,求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.

答案： 解:任务1:以拱顶为原点，建立直角坐标系，如图，则抛物线顶点为0(0，0),且经过点B(20,−8).设该抛物线函数表达式为y=ax²(a＜0),则−8 =400a,
∴a=−$\frac{1}{50}$,
∴该抛物线的函数表达式是y=一$\frac{1}{50}$x². 任务2:
∵水位再涨2.1m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m,灯笼长0.4m,,
∴悬挂点的纵坐标y≥−8+2.1+1+0.4=−4.5,
∴悬挂点的纵坐标的最小值是−4.5.当y=−4.5时,−4.5=一$\frac{1}{50}$x²,解得x=15,x2=−15,,
∴悬挂点的横坐标的取值范围是−15≤x≤15. 任务3:有两种设计方案.方案一:从顶点处开始悬挂灯笼.
∵−15≤x≤15,相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m,
∴若顶点一侧挂10盏灯笼，则1.6×10=16＞15;若顶点一侧挂9盏灯笼，则1.6×9=14.4＜15.
∴顶点一侧最多可挂9盏灯笼.
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂19盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−14.4.方案二:从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m
∵若顶点一侧挂10盏灯笼，则0.8+1.6×(10−1)=15.2＞15;若顶点一侧挂9盏灯笼,则0.8+1.6×(9−1)=13.6＜15.
∴顶点一侧最多可挂9盏灯笼.
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂18盏灯笼.
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−13.6. 点评;本题属于任务型阅读题，主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，理清题意，灵活运用二次函数的轴对称性,