《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

21. (10分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB = 110°,∠BOC = α. 将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:△COD是等边三角形;
(2)当α = 150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?

答案： 解:
(1)证明:由旋转得CD=CO,∠OCD=60°,
∴△COD是等边三角形,　
(2)当α=150°时,△AOD 是直角三角形.理由如下;由旋转得△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠B0C=150°.又
∵△COD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠AD0=∠ADC−∠ODC=90°,
∵∠α=150°,∠A0B=110°,∠C0D=
　　　60°,
∴∠A0D=360°−∠α−∠A0B−∠C0D=360°−150°−110°−60°=40°,
∴∠OAD=50°.
∴△AOD是直角三角形,　　
(3)由题意得∠AOD=360°−110°−α−60°=190°−α,∠ADO=α−60°,∠OAD=180°−∠AOD−∠AD0=50°.当AO=AD时,∠AOD=∠AD0,即190°。−α=a−60°,
∴a =125°;当A0=D0时,∠0AD=∠ODA,即50°=α−60°,
∴α=110°;当AD=OD时,∠OAD=
　　　∠D0A,即50°=190°−α,
∴α=140°.综上,α为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形

22. (10分)如图,四边形ABCD是正方形,连接AC,将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF,连接CF,O为CF的中点,连接OE,OD.
(1)如图1,当α = 45°时,求证:OE = OD;
(2)如图2,当45° ＜ α ＜ 90°时,OE = OD还成立吗? 请说明理由.

答案：
解:
(1)证明:由旋转的性质得∠AEF=∠B=90°,
∴∠FEC=90°,又
∵0为CF
　　　的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$CF,同理可得OD=$\frac{1}{2}$CF,
∴OE=0D.　
(2)当45°＜α＜90°
　　　时,OE=OD仍成立,理由如下;如图，连接CE,DF;在正方形ABCD中,AB=
　AD,又
∵AE=AB,
∴AD=AE;
∵O为CF的中点，
∴OC=OF.
∵AF=AC,
∴
　　　∠ACF=∠AFC.
∵∠DAC=∠EAF,
∴∠DAC−∠DAE=∠EAF−∠DAE,
　　　即∠CAE=∠FAD.在△ACE和△AFD中,
∵AC=AF,∠EAC=∠DAF,AE
　　　=AD,，
∴△ACE≌△AFD(SAS),
∴CE=FD,∠ECA=∠DFA.
∴∠ACF−∠ECA=∠AFC−∠DFA,
∴∠ECO=∠DFO.在△EOC和△DOF中,
∵EC=DF,∠ECO=∠DFO,CO=FO,
∴△EOC≌△DOF(SAS),
∴EO=DO.