《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

22. (10分)定义:在平面直角坐标系$xOy$中,称两个不同的点$P(m,n)$和$Q(-n,-m)$为“云对称点”,如:点$(-3,1)$和点$(-1,3)$是一对“云对称点”.
(1)下列函数中,其图象上至少存在一对“云对称点”的在其后打“√”,不存在的打“×”.
①$y = 2x(\ \ \ )$ ②$y = -x + 4(\ \ \ )$ ③$y = \frac{3}{x}(\ \ \ )$
(2)如图,直线$l:y = x - 3$与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k＞0)$的图象在第一象限内交于点$P$,点$P$和点$Q$为一对“云对称点”,若$S_{\triangle OPQ}=9$,求$k$的值.

答案： 解：
(1)①× ②× ③√
(2)设点P(m,n)，
∵点P在反比例函数$y = \frac{k}{x}$上，
∴mn = k. 联立$\begin{cases}y = x - 3\\y = \frac{k}{x}\end{cases}$，整理得$x^{2}-3x - k = 0$，则x = m是方程的一个根，由韦达定理可得方程的另一个根为x = －n，且m－n = 3，
∴直线和双曲线的另一交点为(－n,－m)，由定义可知该点与点P为“云对称点”，即点Q(－n,－m)，
∴点Q在直线l上，$PQ=\sqrt{(m + n)^{2}+(n + m)^{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(m - n)^{2}+4mn}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{9 + 4k}$. 设直线y = x－3与x轴，y轴分别交于点A，B，则OA = OB = 3，过点O作OC⊥PQ于点C，则$OC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$S_{\triangle OPQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot OC=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{9 + 4k}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=9$，解得$k = \frac{27}{4}$.

23. (14分)如图,在平面直角坐标系中,$\triangle AOB$的顶点$O$是坐标原点,$A$点的坐标为$(1,3)$,$A,B$两点关于直线$y = x$对称,$AB$交直线$y = x$于点$M$,反比例函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$图象经过点$A$,点$P$是直线$y = x$上一动点.
(1)反比例函数$y = \frac{k}{x}$的解析式是____________,点$M$的坐标为______;
(2)当四边形$AOBP$为菱形时,求该菱形的面积;
(3)若点$C$是反比例函数图象上一点,是否存在这样的点$C$,使得$A,B,C,P$四点为顶点的四边形是平行四边形? 直接写出符合条件的点$C$的坐标.

答案：
解：
(1)$y = \frac{3}{x}(x＞0)$ (2,2)
(2)$S=\frac{1}{2}AB×OP = AB×OM=\sqrt{(1 - 3)^{2}+(3 - 1)^{2}}×2\sqrt{2}=8$.
(3)点C的坐标为$(\sqrt{7}+2,\sqrt{7}-2)$或$(\sqrt{7}-2,\sqrt{7}+2)$或$(\sqrt{3},\sqrt{3})$. 解析：由
(1)得$y = \frac{3}{x}(x＞0)$，A(1,3)，B(3,1)，设P(m,m). ①如图1，若PC为平行四边形的边，点C在点P的下方时，则点$C_1(m + 2,m - 2)$，当点C在点P的上方时，则点$C_2(m - 2,m + 2)$. 把$C_1(m + 2,m - 2)$代入反比例函数的解析式得$m = \pm\sqrt{7}$，
∵m＞0，
∴$m = \sqrt{7}$，
∴$C_1(\sqrt{7}+2,\sqrt{7}-2)$，同理可得$C_2(\sqrt{7}-2,\sqrt{7}+2)$；②若PC为平行四边形的对角线，如图2，
∵A，B关于y = x对称，
∴OP⊥AB，此时点C为直线y = x与双曲线$y = \frac{3}{x}$的交点，由$\begin{cases}y = x\\y = \frac{3}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1=\sqrt{3}\\y_1=\sqrt{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x_2=-\sqrt{3}\\y_2=-\sqrt{3}\end{cases}$(舍去)，
∴$C_3(\sqrt{3},\sqrt{3})$. 点评：本题考查了反比例函数的综合知识，本题中需用到数形结合与分类讨论的数学思想，难度较大，这也是中考的热点题型之一.