《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

8. 如图,有一抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,当水面宽增加$(2\sqrt{6}-4)$m时,水面应下降的高度是 ( )


A. 2 m
B. 1 m
C. $\sqrt{6}$ m
D. $(\sqrt{6}-2)$ m

答案： B 解析:以原水面所在直线为x轴，拱桥中轴线为y轴建立平面直角坐标系，可得拱桥过(−2,0)，(2,0),(0,2)三点.设拱桥解析式为y=a(x−h)²+k,,代入三点坐标得a=一$\frac{1}{2}$,h=0,k=2,
∴y=一$\frac{1}{2}$x²+2.当水面宽增加(2$\sqrt{6}$−4)m时，新水面宽为2$\sqrt{6}$−4+4=2$\sqrt{6}$m,
∴新水面与拱桥的交点横坐标为士$\sqrt{6}$,把x=√6(或x=−$\sqrt{6}$)代入y=−$\frac{1}{2}$x²+2,得y=−1,
∴水面下降了1m

9. 已知点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$在二次函数$y = a(x - 3)^{2}+c$的图象上,若$|x_{1}-3|＞|x_{2}-3|$,则下列结论正确的是 ( )
A. $y_{1}+y_{2}＞0$
B. $y_{1}-y_{2}＞0$
C. $a(y_{1}+y_{2})＞0$
D. $a(y_{1}-y_{2})＞0$

答案： D解析;
∵|x−3{＞{x2−31,
∴x到对称轴的距离大于x2到对称轴的距离.根据图象性质，当a ＞0时,y＞y2;当a＜0时,y1＜y2,
∴a(y−y2)＞0.

10. 如图,公园中一正方形水池中有一喷泉,喷出的水流呈抛物线状,测得喷出口高出水面0.8 m,水流在离喷出口的水平距离1.25 m处达到最高,密集的水滴在水面上形成了一个半径为3 m的圆,考虑到出水口过高影响美观,水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外,现决定通过降低出水口的高度,使落水形成的圆半径为2.75 m,则应把出水口的高度调节为高出水面 ( )


A. 0.55 m
B. $\frac{11}{30}$ m
C. $\frac{13}{30}$ m
D. 0.4 m

答案： B解析:如图所示，以出水口方向为y轴，出水口底部水平方向为x轴建立平面直角坐标系.设未调节之前水流喷出时形状解析式为y=a(x一$\frac{5}{4}$)²+k(a≠0).
∵点A(0,”$\frac{4}{5}$),B(3,0)在抛物线上，,
∴易得抛物线解析式为y=一$\frac{8}{15}$(x−−$\frac{5}{4}$)²+$\frac{49}{30}$.设调节之后的解析式为y=一$\frac{8}{15}$(x−−$\frac{5}{4}$)²+$\frac{49}{30}$−h,把E($\frac{11}{4}$,0)代入,，得h=$\frac{13}{30}$,此时OC=OA−h=$\frac{4}{5}$$\frac{13}{30}$=$\frac{11}{30}$
∴应把出水口的高度调节为高出水面$\frac{11}{30}$m.

11. 抛物线$y = 2x^{2}-bx + 6$的对称轴是直线$x = 1$,则$b$的值是______.

答案： 4

12. 已知二次函数$y = ax^{2}+4x + a - 1$的最小值为2,则$a$的值是______.

答案： 4

13. 点$A(-3,y_{1}),B(2,y_{2})$在抛物线$y=-x^{2}-3x + c$上,则$y_{1}$______$y_{2}$. (填“＞”“＜”或“=”)

答案： ＞

14. 如图,将二次函数$y=(x + 1)^{2}-4$的图象在$x$轴下方的部分沿$x$轴翻折,图象的其余部分不变,即得到$y = |(x + 1)^{2}-4|$的图象. 根据图象,若关于$x$的方程$|(x + 1)^{2}-4|=k$有四个不相等的实数根,则$k$的取值范围是__________.

答案： 0＜k＜4

15. 某超市销售某种玩具,进货单价为20元. 根据市场调查:在一段时间内,销售单价是30元时,销售量是400件,而销售单价每上涨1元,就会少售出10件玩具,超市要完成不少于300件的销售任务,又要获得最大利润,则销售单价应定为______元.

答案： 40 解析:设销售单价上涨x元.利润W=(10+x)(400−10x)=−10x²+300x+4000=−10(x-15)2+6250.
∵销量400−10x≥300,
∴x≤10.
∵抛物线对称轴为直线x=15，且抛物线开口向下，
∴当x＜15时,利润W随x增大而增大.
∴x=10时，利润最大，即定价应定为40元,

16. 如图,抛物线$y = x^{2}$在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为$A_{1},A_{2},A_{3},\cdots,A_{n}$. 将抛物线$y = x^{2}$沿直线$L:y = x$向上平移,得一系列抛物线,且满足下列条件:
①抛物线的顶点$M_{1},M_{2},M_{3},\cdots,M_{n}$都在直线$L:y = x$上;
②抛物线依次经过点$A_{1},A_{2},A_{3},\cdots,A_{n}$,则顶点$M_{2023}$的坐标为 (______,______).

答案： (4045,4045) 解析:
∵顶点M,M2,M3,...,M均在直线y=x上,
∴设M(a1,a1),抛物线解析式为y=(x−a1)²+a1,令x²=(x−a1)²+a1,解得x=$\frac{1}{2}$(a1+1),
∵y=x²与y=(x−a1)²+a1交于A1(1,a1)9
∴$\frac{1}{2}$(a1+1)=1,
∴a1=1.同理可得M2(3,3),M(5,5),
∴Mn(2n−1,2n−1),
∴M2023(4045,4045). 点评:本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，理解题意，能用顶点式表示出各抛物线解析式是解题的关键.