《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23.(12分)如图,已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴为直线$x = -1$,且抛物线经过$A(1,0),C(0,3)$两点,与$x$轴交于另一点$B$.

(1)若直线$y = mx + n$经过$B,C$两点,求直线$BC$和抛物线的函数表达式;
(2)在抛物线的对称轴直线$x = -1$上找一点$M$,使点$M$到点$A$的距离与到点$C$的距离之和最小,求出点$M$的坐标;
(3)设$P$为抛物线的对称轴$x = -1$上的一个动点,求使$\triangle BPC$为直角三角形的点$P$的坐标.

答案：
解:
(1)由题意，得,解得
∴抛物线的函数表达式为y=−x²−2x+3.
∵抛物线的对称轴为直线r=−1,且抛物线经过点A(1,0),
∴点B(−3,0).把点B(−3,0),C(0,3)代入y=mx+n,得解得
∴直线BC的函数表达式为y=x+3.　
(2)
∵点A与点B关于直线x=−1对称，
∴直线
BC与直线x=−1的交点就是使MA+MC的值最小的点M.把x=−1代入y=x+3,得y=2,,
∴点M(−1,2).　
(3)如图,设点P(−1,t).
∵点B(−3,0),C(0,3),
∴BC²=18,PB²=(−1+3)²+t²=4+t2,PC²=(−1)²+(t−3)²=t²−6t+10.①若点B为直角顶点,则BC²+PB2=PC²,即18+4 +²=t2−6t+10,解得t=−2;②若点C为直角顶点,则BC+PC²=PB²,即18+t²−6t+10=4+t2,解得t=4;③若点P为直角顶点,则PB²+PC²=BC2,即4+t2+t2−6t+10=18,解得t1=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,t2=$\frac{3−\sqrt{17}}{2}$.综上,满足题意的点P的坐标为(−1,,−2))或(−1,44)或(−11,$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$)或(−1,$\frac{3−\sqrt{17}}{2}$).