《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

6. 如图,在△ABC中,AB = 5,AC = 3,BC = 4,将△ABC绕点A逆时针方向旋转40°得到△ADE,点B经过的路径为弧BD,则图中阴影部分的面积为 ( )


A. $\frac{14}{3}\pi\cdot6$
B. $\frac{25}{9}\pi$
C. $\frac{33}{8}\pi\cdot3$
D. $\sqrt{33}+\pi$

答案： B 解析：
∵AB = 5，AC = 3，BC = 4，
∴AC² + BC² = AB²，
∴△ABC为Rt△，由题意得S△AED = S△ABC，由图可知S阴 = S△AED + S扇形BAD - S△ABC = S扇形BAD = $\frac{40\pi\times5^{2}}{360}=\frac{25}{9}\pi$.

7. 如图,点C为扇形OAB的半径OB上一点,将△OAC沿AC折叠,O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处,且$\overset{\frown}{BD}:\overset{\frown}{AD}=1:3$,若将此扇形OAB围成一个圆锥,则圆锥的底面半径与母线长的比为 ( )


A. 1 : 3
B. 1 : π
C. 1 : 4
D. 2 : 9

答案：
D 解析：如图，连接OD，交AC于点M. 由折叠可得OM = $\frac{1}{2}$OD = $\frac{1}{2}$OA，∠OMA = 90°，
∴∠OAM = 30°，
∴∠AOM = 60°.
∵$\overset{\frown}{BD}:\overset{\frown}{AD}=1:3$，
∴∠BOD : ∠DOA = 1 : 3，
∴∠DOB = 20°，
∴∠AOB = ∠AOD + ∠BOD = 80°. 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则$\frac{80\pi l}{180}=2\pi r$，
∴r : l = 2 : 9.

8. 如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧$\overset{\frown}{AMB}$上一点,则∠APB的度数为 ( )


A. 45°
B. 30°
C. 75°
D. 60°

答案： D 解析：连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接AC. 由折叠可得OD = DC，
∵OD⊥AB，
∴OA = AC，又
∵OA = OC，
∴OA = OC = AC，即△AOC是等边三角形，
∴∠AOC = 60°，
∴∠AOB = 2∠AOC = 120°，
∴∠APB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 60°.

9. 如图,以点G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A,B两点,与y交于C,D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于点F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为 ( )


A. $\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$
C. $\frac{\sqrt{3}}{4}\pi$
D. $\frac{\sqrt{3}}{6}\pi$

答案：
B 解析：如图，连接BC，AC，AG.
∵OG⊥AB，
∴O为AB中点，即OA = OB = $\frac{1}{2}$AB，
∴CA = CB.
∵G(0，1)，
∴OG = 1. 在Rt△AOG中，AO = $\sqrt{AG^{2}-OG^{2}}=\sqrt{3}$，
∴AB = 2AO = 2$\sqrt{3}$. 又
∵CO = CG + GO = 3，
∴在Rt△AOC中，AC = $\sqrt{AO^{2}+CO^{2}}=2\sqrt{3}$，
∴AB = AC = BC，即△ABC为等边三角形，
∴∠CAB = 60°.
∵CF⊥AE，
∴△ACF始终为Rt△，点F的运动轨迹在以AC为直径的圆弧上. 记AC中点为M，连接OM，AD.
∵CD为直径，
∴∠CAD = 90°，即CA⊥AD，
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径为$\overset{\frown}{AO}$.
∵MA = MO，∠MAO = 60°，
∴△AMO是等边三角形，
∴∠AMO = 60°. 又
∵AM = $\frac{1}{2}$AC = $\sqrt{3}$，
∴$\overset{\frown}{AO}$的长度为$\frac{60\pi\times\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$，即点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F经过的路径长为$\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$. 点评：本题属于圆的综合题，涉及坐标与图形性质、勾股定理、弧长公式以及圆周角定理，根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为$\overset{\frown}{AO}$是解本题的关键.

10. 如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,BE⊥AC,AD,BE相交于点M,若AC = 8,BM = 4,则⊙O的半径等于 ( )


A. 2$\sqrt{5}$
B. 2$\sqrt{3}$
C. 4$\sqrt{2}$
D. 6

答案：
A 解析：如图，作直径AH，连接HB，HC，过点O作OF⊥AC于点F，连接CM并延长，交AB于点N，则CN⊥AB.
∵AH为直径，
∴∠HCA = ∠HBA = 90°.
∵CN⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CNA = ∠BEA = 90°，
∴∠HBA = ∠CNA，∠HCA = ∠BEA，
∴HB//CN，HC//BE，
∴四边形HBMC为平行四边形，
∴HC = BM = 4.
∵OF⊥AC，OF过点O，
∴CF = AF = $\frac{1}{2}$AC = 4.
∵AO = OH，
∴OF为△ACH的中位线，
∴OF = $\frac{1}{2}$HC = 2.
∴在Rt△AOF中，AO = $\sqrt{OF^{2}+AF^{2}}=2\sqrt{5}$.

11. 如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,若⊙O的半径为10,则∠AOB的度数为______.

答案： 72°

12. 在Rt△ABC中,∠C = 90°,AC = 2,AB = 4,如果以点A为圆心,AC为半径作⊙A,那么斜边AB的中点D在⊙A ______.(填“内”“外”或“上”)

答案： 上

13. 在⊙O中,弦AB垂直弦CD于点P,AP = PB = 4 cm,CP = 2 cm,则⊙O的直径为______ cm.

答案： 10