《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

19. (8分)已知二次函数$y_{1}=ax^{2}+bx + 1$，$y_{2}=x^{2}+bx + a$(a,b是实数，$a\neq0$).
(1)若$b\neq0$，且函数$y_{1}$和函数$y_{2}$的对称轴关于y轴对称，求a的值；
(2)若函数$y_{2}$的图象过点(b,$9a$)，求函数$y_{1}$的图象与x轴的交点个数；
(3)设函数$y_{1}$，$y_{2}$的图象两个交点的纵坐标分别为m，n，求证：$\vert m - n\vert$的值与a无关.

答案： 解:
(1)函数y1的对称轴为直线x=一$\frac{b}{2a}$,函数y2的对称轴为直线x=一$\frac{b}{2}$.
∵两对称轴关于y轴对称，
∴−$\frac{b}{2a}$−$\frac{b}{2}$=−b(1+a)=0,
∵b≠0,
∴a=−1.　
(2)将点(b,9a)代入y2得b²+b.b+a=
　　　9a,整理得b²−4a=0.令y=0,得ax²+bx+1=0,
∴△=b²−4a×1=0,
∴函数y的图象与x轴有1个交点.　
(3)证明:令y=y2,则a.x²+bx+1=x²+bx+a,变形得(a−1)x²=a−1,由题意可知y1,y2不重合,
∴a−1≠0,
∴x=±1,
∴两个交点横坐标为1和−1,,
∴m=a+b+1,n=a−b+1,
∴|m−n|=|(a+b+1)−(a−b+1)|={2bl,
∴|m−n|的值与a无关.

20. (10分)冬至吃汤圆是我国南方的一项传统民俗，既代表着团圆，又寓意着添岁. 为了迎接冬至的来临，瑞安市某商家向广大市民出售肉馅汤圆，已知该汤圆的成本价为20元/盒，经调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y(盒)与售价x(元/盒)成一次函数关系，其对应关系如下表：
|售价(元/盒)|25|30|35|
|----|----|----|----|
|日销售量(盒)|110|a|90|
(1)根据以上信息，填空：表中a的值是______，y关于x的函数关系式是______；
(2)若根据市场的定价规则，该汤圆的售价不得高于40元/盒，求售价为多少时，日销售利润W最大，最大利润是多少?
(3)在(1)的条件下，为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动. 顾客每购买一盒肉馅汤圆可以获得m元的现金奖励，$m＞0$，商家想在日销售量不少于60盒的基础上，达到日销售最大利润为1650元的目标，求出此时m的值.

答案： 解:
(1)100　y=−2x+160(20＜x＜80)　解析:设y关于x的函数关系式为y=kx+b,将x=25,y =110;x=35,y=90代入y=kx+b,得{91010==325k5k++bb,,解得{kb==1−602,,即y关于x的函数解析式为y =−2x+160.
∵成本为20元，
∴x＞20,令y=0,解得x=80,
∴y=−2x+160(20＜x＜80),将x=
30代入y=−2x+160,得a=100.　
(2)由题意得W=(x−20)y=(x−20)(−2x+160)=−2x²+200x−3200=−2(x−50)²+1800.
∵售价不高于40元，
∴20＜x≤40.
∵抛物线对称轴为直线x=
　　50,且抛物线开口向下，
∴当x=40时有最大利润,Wmax=(40−20)×(−2×40+160)=1600元.
(3)由题意得W=(x−20−m)(160−2x)=−2x²+(2m+200)x−3200−160m.
∵日销售量不少于60盒，
∴−2x+160≥60,
∴x≤50,
∴20＜x≤50.
∵抛物线对称轴为直线x=$\frac{2m+200}{4}$=$\frac{1}{2}$m+50 ＞50,且开口向下，
∴当x=50时,Wmax=(−2×50+160)×(50−20−m)=60(30−m)=1650,解得m=2.5.　点评:本题考查二次函数的应用、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的一次函数解析式和二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值,