《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

19. (8分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = BC$,将 $\triangle ABC$ 绕顶点 $B$ 逆时针旋转 $\alpha$ 到 $\triangle A_{1}BC_{1}$ 的位置,$AB$ 与 $A_{1}C_{1}$ 相交于点 $D$,$AC$ 与 $A_{1}C_{1},BC_{1}$ 分别交于点 $E,F$.
(1)求证:$A_{1}D = CF$;
(2)当 $\angle C=\alpha$ 时,判断四边形 $A_{1}BCE$ 的形状.

答案： 解：
(1)证明：
∵AB = BC，
∴∠A = ∠C. 由旋转的性质可得∠ABA₁ = ∠CBC₁ = α，∠A₁ = ∠A = ∠C，A₁B = AB = BC. 在△A₁DB和△CFB中，{∠DBA₁ = ∠FBC，A₁B = CB，∠A₁ = ∠C}，
∴△A₁DB≌△CFB(ASA)，
∴A₁D = CF.
(2)
∵∠C = α，
∴∠A = ∠A₁ = ∠C₁ = α = ∠CBC₁，
∴A₁E//BC，
∴∠C = ∠AED = α = ∠A₁，
∴CE//A₁B，
∴四边形A₁BCE是平行四边形，
∵A₁B = BC，
∴▱A₁BCE是菱形.

20. (10分)2022年9月,教育部正式印发《义务教育课程方案》,《劳动教育》成为一门独立的课程,某校率先行动,在校园开辟了一块劳动教育基地:一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为22米),用长为34米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地,在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门,供同学们进行劳动实践,若设菜地的宽 $AB$ 为 $x$ 米.
(1)$BC=$______米(用含 $x$ 的代数式表示);
(2)若围成的菜地面积为96平方米,求此时的宽 $AB$.

答案： 解：
(1)(36 - 3x) 解析：
∵篱笆的总长为34米，菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，且菜地的宽AB为x米，
∴BC = 34 + 2 - 3x = (36 - 3x)米.
(2)根据题意得x(36 - 3x) = 96，解得x₁ = 4，x₂ = 8. 当x = 4时，36 - 3x = 36 - 3×4 = 24＞22，不符合题意，舍去；当x = 8时，36 - 3x = 36 - 3×8 = 12＜22，符合题意.
∴x = 8. 答：当围成的菜地面积为96平方米时，宽AB为8米.