《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

21.(10分)已知二次函数$y = kx^{2}+4kx + n(k\neq0)$.
(1)求二次函数图象的对称轴;
(2)在平面直角坐标系中,若二次函数的图象经过$(1,a),(3,b),(-1,c),(-3,d)$四点,请判断$a,b,c,d$的大小,并说明理由.

答案： 解:
(1)
∵y=kx²+4kx+n=k(x+2)²−4k+n,
∴二次函数图象的对称轴为直线x=−2.　　
(2)由
(1)得y=k(x+2)²−4k+n,抛物线对称轴为直线x=−2,二次函数的图象经过(1,a),(3,b),(−1,c),(−3,d)四点,3−(−2)＞1−(−2)＞(−1)−(−2)=(−2)−(−3),
∴当k＞0时,b＞a＞c=d;当k＜0时,b＜a＜c=d.

22.(12分)设二次函数$y = (x + 1)(ax + 2a + 2)(a$是常数,$a\neq0)$.
(1)若$a = 1$,求该函数图象的顶点坐标;
(2)若该二次函数图象经过$(-1,1),(-2,3),(0,-2)$三个点中的一个点,求该二次函数的表达式;
(3)若二次函数图象经过$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$两点,当$x_{1}+x_{2}=2,x_{1}\lt x_{2}$时,$y_{1}\gt y_{2}$,求证:$a\lt-\frac{2}{5}$.

答案： 解:
(1)把a=1代入y=(x+1)(ax+2a+2),得y=(x+1)(x+4)=x²+5.x+4=(x+$\frac{5}{2}$)2-$\frac{9}{4}$,
∴该二次函数图象的顶点坐标为(-$\frac{5}{2}$,−$\frac{9}{4}$).　
(2)当x=−1时,y=0≠1,
∴该二次函数图象不过(−1,1)点,当x=−2时,y=(−2+1)(−2a+2a+2)=−2≠3,,
∴该二次函数图象不过(−2,3)
　　　点,故抛物线过点(0,−2),代入得,2a+2=−2,解得a=−2,
∴该二次函数的表达式为y=−2(x +1)2.　
(3)证明:
∵二次函数y=(x+1)(ax+2a+2)(a是常数,a≠0)的图象与x轴交于点(−1,0),(−2−$\frac{2}{a}$,0),
∴函数图象的对称轴为直线x=一$\frac{3a+2}{2a}$,当a＞0时，函数图象开口向上，
∵当x1+x2=2,x1＜x2时,y＞y2,
∴x2+$\frac{3a+2}{2a}$＜−$\frac{3a+2}{2a}$−x1,
∴2+$\frac{3a+2}{a}$＜0,解得a＜−$\frac{2}{5}$,舍去;当a＜0时,同理可得a＜一$\frac{2}{5}$.综上,a＜一$\frac{2}{5}$.