《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

9. 如图,六边形ABCDEF是正六边形,曲线FK₁K₂K₃K₄K₅K₆K₇…叫做“正六边形的渐开线”,其中$\overset{\frown}{FK_{1}}$,$\overset{\frown}{K_{1}K_{2}}$,$\overset{\frown}{K_{2}K_{3}}$,$\overset{\frown}{K_{3}K_{4}}$,$\overset{\frown}{K_{5}K_{6}}$,…的圆心依次按点A,B,C,D,E,F循环,其弧长分别记为l₁,l₂,l₃,l₄,l₅,l₆,…当AB=1时,l₂₀₂₃等于 ( )


A. 1011.5$\pi$
B. $\frac{2023\pi}{3}$
C. $\frac{2023\pi}{4}$
D. $\frac{2023\pi}{6}$

答案： B 解析:根据正六边形的性质可知,其外角都是60°,即∠FAK=∠KBK2=∠K2CK=∠KDK4 =　=60,弧长l,l2,3,4,,.所对应的半径分别为1,2,3,4,..,,
∴2023=$\frac{60πX2023}{180}$=$\frac{2023π}{3}$.

10. 如图,同一个圆中的两条弦AB,CD相交于点E. 若∠AEC=120°,AC=4,则$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{BC}$长度之和的最小值为 ( )


A. $\frac{4}{3}\pi$
B. 2$\pi$
C. 4$\pi$
D. $\frac{2}{3}\pi$

答案：
A 解析:如图,以AC为边向下作等边△ACH,则∠AHC=60°.
∵∠AEC=
　　　120°,
∴∠AEC+∠AHC=180°,
∴点E在△ACH的外接圆P上运动.记
AB,CD所在的圆为OO,连接OA,OB,OC,OD,则∠ACD=$\frac{1}{2}$∠AOD,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC,
∴∠AOD+∠BOC=2(∠ACD+∠BAC)=2(180°−
　　　∠AEC)=2×60°=120°.
∵AC≤OA+OC(当A,O,C三点共线时取等号),
∴
　　　当OA十OC=AC时，OO半径最小,此时半径为$\frac{1}{2}$AC=2,
∴此时AD与BC的
　　　和最小，最小值为$\frac{120πX2}{180}$=$\frac{4}{3}$π.　点评:本题主要考查弧长的计算，添加辅助圆，确定点E的运动轨迹以及所求弧长和取得最小值时圆心O的位置是解本题的关键.

11. 要在三角形广场ABC的三个角处各修一个半径为2 m的扇形草坪,则三个扇形弧长的和为______m.

答案： 2π

12. 如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,点F在$\overset{\frown}{CD}$上,则∠BFE的度数为______.

答案： 72°

13. 如图,AB,CD为一个正多边形的两条边,O为该正多边形的中心,若∠ADB=12°,则该正多边形的边数为______.

答案： 15

14. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他首次提出“割圆术”,利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率,方法如图:作正六边形ABCDEF内接于⊙O,取$\overset{\frown}{AB}$的中点G,OG与AB交于点H;连接AG,BG;依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形,记正十二边形的面积为S₁,正六边形的面积为S₂,则$\frac{S_{1}}{S_{2}}$=______.

答案： $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

15. 如图,以AD为直径的半圆O经过Rt△ACE的斜边AC的两个端点,交直角边AE于点B,点B,C是半圆弧的三等分点,$\overset{\frown}{CB}$的长为$\frac{2\pi}{3}$,则图中阴影部分的面积为______.

答案： $\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$−$\frac{2}{3}$π 解析:连接OB,OC,BC,CD,
∵B,C为半圆弧的三等分点，
∴∠AOB=∠BOC=
　　　∠C0D=60°,
∵lR=$\frac{60}{180}$πR=$\frac{2}{3}$π,
∴R=2,
∴S扇形BOC=$\frac{60π×22}{360}$=$\frac{2}{3}$π,AD=4.
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°,又
∵∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°,
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=2,
∴AC=　$\sqrt{AD−CD²}$=2$\sqrt{3}$
∵∠BOC=60°,
∴∠CAB=30°,
∵△ACE为Rt△,
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$
∴AE=3,
∴SACE=$\frac{1}{2}$CE.
AE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$
∵B,C为三等分点，
∴BC//AD.
∴S△BOC=S△ABC,
∴S影=SACE−S扇形BOC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$−$\frac{2}{3}$π.　点评:本题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积的求法等，根据已知得出△BOC和△ABC面积相等是解题的关键,