《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

四、附加题(附加10分)
24.阅读下面的例题与解答过程:
例:解方程:$x^{2}-|x|-2 = 0$.
解:原方程可化为$|x|^{2}-|x|-2 = 0$.
设$|x|=y$,则$y^{2}-y - 2 = 0$.
解得$y_{1}=2,y_{2}=-1$.
当$y = 2$时,$|x|=2,\therefore x=\pm2$;
当$y=-1$时,$|x|=-1$,方程无实数解.
$\therefore$原方程的解是$x_{1}=2,x_{2}=-2$.
在上面的解答过程中,我们把$|x|$看成一个整体,用字母$y$代替(即换元),使得问题简单化、明朗化,解答过程更清晰.这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法.请你仿照上述例题的解答过程,利用换元法解下列方程.
(1)$x^{2}-2|x| = 0$;
(2)$x^{2}-2x - 4|x - 1|+5 = 0$.

答案： 解:
(1)原方程可化为|x|²−2|x|=0,设|x|=y,则y²−2y=0,解得y=0,y2=2.当y=0时,|x|=0,
∴x=0;当y=2时,|x|=2,
∴x=±2.综上,原方程的解是x1=0,x2=−2,x3=2.　　
(2)原方程可化为|x−1|²−4|x−1|+4=0.设|x−1|=y,则y²−4y+4=0,解得y=y2=2.即｜x−1|=2,
∴x=−1或x=3.
∴原方程的解是x1=−1,x2=3.　点评:本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解换元的实质是转化.