《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 化简：$\sqrt{(e^{-1} - e)^2 + 4}=$(C)

A.$e - e^{-1}$
B.$e^{-1} - e$
C.$e + e^{-1}$
D.$0$

答案： 1. 解析: 因为$\sqrt{(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e})^{2}+4}=\sqrt{\mathrm{e}^{-2}+\mathrm{e}^{2}+2}=\sqrt{(\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e})^{2}}=\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}$，故选 C.

2. $5 - 2\sqrt{6}$的平方根是(D)

A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}-\sqrt{3}$

答案： 2. 解析:$\pm\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}=\pm\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}=\pm(\sqrt{3}-\sqrt{2})$。故选 D.

3. 化简：$\sqrt{-x^3}=$(B)

A.$x\sqrt{-x}$
B.$-x\sqrt{-x}$
C.$x\sqrt{x}$
D.$-x\sqrt{x}$

答案： 3. 解析:由题意可知$x\lt0$，故$\sqrt{-x^{3}}=\sqrt{-x· x^{2}}=\vert x\vert\sqrt{-x}=-x\sqrt{-x}$。故选 B.

4. $(5 - 3x)^{-\frac{2}{9}}$中$x$的取值范围是(C)

A.$(-\infty,+\infty)$
B.$(-\infty,\frac{5}{3})\cup(\frac{5}{3},+\infty)$
C.$(-\infty,\frac{5}{3})$
D.$(\frac{5}{3},+\infty)$

答案： 4. 解析:$(5 - 3x)^{-\frac{5}{6}}=\frac{1}{(5 - 3x)^{\frac{5}{6}}}=\frac{1}{\sqrt[6]{(5 - 3x)^{5}}}$，则$5 - 3x\gt0$，即$x\lt\frac{5}{3}$。故选 C.

5. $2^{\frac{1}{2}}$，$3^{\frac{1}{3}}$，$6^{\frac{1}{6}}$这三个数的大小关系为(B)

A.$6^{\frac{1}{6}}＜3^{\frac{1}{3}}＜2^{\frac{1}{2}}$
B.$6^{\frac{1}{6}}＜2^{\frac{1}{2}}＜3^{\frac{1}{3}}$
C.$2^{\frac{1}{2}}＜3^{\frac{1}{3}}＜6^{\frac{1}{6}}$
D.$3^{\frac{1}{3}}＜2^{\frac{1}{2}}＜6^{\frac{1}{6}}$

答案： 5. 解析:因为$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{6}}=\sqrt[6]{2^{3}}=\sqrt[6]{8}$，$3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{3^{2}}=\sqrt[6]{9}$，$6^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{6}$，又因为$\sqrt[6]{6}\lt\sqrt[6]{8}\lt\sqrt[6]{9}$，所以$6^{\frac{1}{6}}\lt2^{\frac{1}{2}}\lt3^{\frac{1}{3}}$。故选 B.

6. 若$a＞1$，$b＞0$，$a^b + a^{-b} = 2\sqrt{2}$，则$a^b - a^{-b}=$(D)

A.$\sqrt{6}$
B.$2$或$-2$
C.$-2$
D.$2$

答案： 6. 解析:设$a^{b}-a^{-b}=t$，因为$a\gt1$，$b\gt0$，所以$a^{b}\gt1$，$a^{-b}\lt1$，$t = a^{b}-a^{-b}\gt0$，则$t^{2}=(a^{b}-a^{-b})^{2}=(a^{b}+a^{-b})^{2}-4=(2\sqrt{2})^{2}-4 = 4$，所以$t = 2$。故选 D.

7. 设$a\in\mathbf{R}$，$n$，$m\in\mathbf{N}^*$，且$n\geqslant2$，则下列等式中一定正确的是(AD)

A.$a^m· a^n = a^{m + n}$
B.$(a^n)^m = a^{m + n}$
C.$\sqrt[n]{a^n}=a$
D.$(\sqrt[n]{a})^n = a$

答案： 7. 解析:由指数幂的运算公式可得$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，$(a^{n})^{m}=a^{mn}$，$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$，所以选项 A，D 正确，选项 B 错误。对于选项 C，当$n$为奇数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=a$，当$n$为偶数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=\vert a\vert$，所以 C 错误。故选 AD.

8. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是(CD)

A.$-\sqrt{x}=(-x)^{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt[6]{y^2}=y^{\frac{1}{2}}(y＜0)$
C.$x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}(x\neq0)$
D.$[\sqrt[3]{(-x)^2}]^{\frac{3}{4}}=x^{\frac{1}{2}}(x＞0)$

答案： 8. 解析:对于选项 A，因为$-\sqrt{x}=-x^{\frac{1}{2}}(x\geq0)$，而$(-x)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-x}(x\leq0)$，所以 A 错误。对于选项 B，因为$\sqrt[6]{y^{2}}=-y^{\frac{1}{3}}(y\lt0)$，所以 B 错误。对于选项 C，因为$x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}(x\neq0)$成立，所以 C 正确。对于选项 D，当$x\gt0$时，$\left[\sqrt[3]{(-x)^{2}}\right]^{\frac{3}{4}}=\vert -x\vert^{2×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}}=x^{2×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}}=x^{\frac{1}{2}}$，所以 D 正确。故选 CD.

9. 对于函数$f(x)$的定义域中任意的$x_1$，$x_2$ $(x_1\neq x_2)$，当$f(x)=2^x$时，下列结论中正确的是(ACD)

A.$f(x_1 + x_2)=f(x_1)f(x_2)$
B.$f(x_1· x_2)=f(x_1)+f(x_2)$
C.$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}＞0$
D.$f(\frac{x_1 + x_2}{2})＜\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

答案： 9. 解析:对于选项 A，因为$f(x_{1}+x_{2}) = 2^{x_{1}+x_{2}}$，$f(x_{1})f(x_{2}) = 2^{x_{1}}·2^{x_{2}} = 2^{x_{1}+x_{2}}$，所以$f(x_{1}+x_{2}) = f(x_{1})f(x_{2})$，故 A 正确。对于选项 B，因为$f(x_{1}· x_{2}) = 2^{x_{1}· x_{2}}$，$f(x_{1}) + f(x_{2}) = 2^{x_{1}} + 2^{x_{2}}$，所以$f(x_{1}· x_{2})\neq f(x_{1}) + f(x_{2})$，故 B 错误。对于选项 C，因为$f(x)=2^{x}$在定义域中单调递增，所以$\frac{f(x_{1}) - f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\gt0$，故 C 正确。对于选项 D，因为$f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)=2^{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}=\sqrt{2^{x_{1}+x_{2}}}\leq\frac{1}{2}(2^{x_{1}} + 2^{x_{2}})=\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$，又$x_{1}\neq x_{2}$，所以$f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\lt\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$，故 D 正确。故选 ACD.

10. 计算：$(\frac{3}{2})^{-\frac{1}{3}}×(\frac{3}{4})^0 + 4^{\frac{3}{4}}×\sqrt{2}-\sqrt{(-\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}}=$4。

答案： 10. 解析:原式$=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3}{2}}×2^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}} = 4$。

11. 化简：$\frac{a^{\frac{4}{3}} - 8a^{\frac{1}{3}}b}{4b^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{ab} + a^{\frac{2}{3}}}×\frac{\sqrt{a·\sqrt[3]{a^2}}}{\sqrt[5]{\sqrt{a}\sqrt[3]{a}}}÷(\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}} - \frac{2\sqrt[3]{b}}{a})=$a^{2}$(a＞0,b＞0)$。

答案： 11. 解析:原式$=\frac{a^{\frac{1}{3}}\left[\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3}-\left(2b^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\right]}{\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2}+a^{\frac{1}{3}}·\left(2b^{\frac{1}{3}}\right)+\left(2b^{\frac{1}{3}}\right)^{2}}÷\frac{a^{\frac{1}{3}} - 2b^{\frac{1}{3}}}{a}×\frac{\left(a· a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(a^{\frac{1}{2}}· a^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}}=a^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}} - 2b^{\frac{1}{3}}\right)×\frac{a}{a^{\frac{1}{3}} - 2b^{\frac{1}{3}}}×\frac{a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{6}}}=a^{2}$。

12. 若$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$，则$\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} - 3}{x^2 + x^{-2} - 2}=$\frac{1}{3}。

答案： 12. 解析:由$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$，两边平方得$x + x^{-1} = 7$，再两边平方得$x^{2} + x^{-2} = 47$。因为$x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{3}+\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{3}=\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)(x + x^{-1}-1)=18$，所以$\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} - 3}{x^{2} + x^{-2} - 2}=\frac{1}{3}$。