《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例1】求实数$a$的取值范围，使等式$\sqrt{(a - 5)(a^2 - 25)}=(5 - a)\sqrt{a + 5}$成立。

答案： 要使等式$\sqrt{(a - 5)(a^2 - 25)}=(5 - a)\sqrt{a + 5}$成立，需进行如下分析：
1. 化简左边根式：
因$a^2 - 25=(a - 5)(a + 5)$，故左边$=\sqrt{(a - 5)(a - 5)(a + 5)}=\sqrt{(a - 5)^2(a + 5)}=|a - 5|\sqrt{a + 5}$。
2. 等式等价转化：
原等式化为$|a - 5|\sqrt{a + 5}=(5 - a)\sqrt{a + 5}$。
3. 确定根号有意义条件：
根号下$a + 5\geq0$，即$a\geq -5$。
4. 分析等式成立条件：
若$\sqrt{a + 5}=0$，则$a + 5=0\Rightarrow a=-5$，此时等式两边均为$0$，成立。
若$\sqrt{a + 5}\neq0$，则可约去$\sqrt{a + 5}$，得$|a - 5|=5 - a$，即$a - 5\leq0\Rightarrow a\leq5$。
5. 综合条件：
结合$a\geq -5$和$a\leq5$，得$a\in[-5,5]$。
结论：$a$的取值范围是$[-5,5]$。