《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 1】写出与 $75^{\circ}$ 角终边相同的角的集合，并求出所有在 $[360^{\circ}, 1080^{\circ})$ 内与 $75^{\circ}$ 角终边相同的角.

答案： 与$75^{\circ}$角终边相同的角的集合为$S = \{ \beta | \beta = 75^{\circ} + k · 360^{\circ}, k \in \mathbf{Z} \}$。
由$360^{\circ} \leq \beta ＜ 1080^{\circ}$，得$360^{\circ} \leq 75^{\circ} + k · 360^{\circ} ＜ 1080^{\circ}$，
移项可得$360^{\circ} - 75^{\circ} \leq k · 360^{\circ} ＜ 1080^{\circ} - 75^{\circ}$，
即$285^{\circ} \leq k · 360^{\circ} ＜ 1005^{\circ}$，
两边同时除以$360^{\circ}$，得$\frac{285}{360} \leq k ＜ \frac{1005}{360}$，
化简得$\frac{19}{24} \leq k ＜ \frac{67}{24}$。
因为$k \in \mathbf{Z}$，所以$k = 1$或$k = 2$。
当$k = 1$时，$\beta = 75^{\circ} + 1 × 360^{\circ} = 435^{\circ}$；
当$k = 2$时，$\beta = 75^{\circ} + 2 × 360^{\circ} = 795^{\circ}$。
在$[360^{\circ}, 1080^{\circ})$内与$75^{\circ}$角终边相同的角为$435^{\circ}$，$795^{\circ}$。

变式 写出终边在直线 $y = \sqrt{3}x$ 上，且在 $[ - 2\pi, 2\pi )$ 内的角的集合.

答案： 终边在直线$y = \sqrt{3}x$上的角可表示为$\beta=\frac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$。
令$-2\pi\leq\frac{\pi}{3}+k\pi＜2\pi$，
移项得$-2\pi-\frac{\pi}{3}\leq k\pi＜2\pi-\frac{\pi}{3}$，
即$-\frac{7\pi}{3}\leq k\pi＜\frac{5\pi}{3}$，
两边同时除以$\pi$得$-\frac{7}{3}\leq k＜\frac{5}{3}$。
因为$k\in\mathbf{Z}$，所以$k=-2,-1,0,1$。
当$k = - 2$时，$\beta=\frac{\pi}{3}-2\pi=-\frac{5\pi}{3}$；
当$k=-1$时，$\beta=\frac{\pi}{3}-\pi=-\frac{2\pi}{3}$；
当$k = 0$时，$\beta=\frac{\pi}{3}$；
当$k = 1$时，$\beta=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}$。
所以满足条件的角的集合为$\left\{-\frac{5\pi}{3},-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right\}$。