《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

10. 已知函数 $ f(x) = (m^{2} - m - 1)x^{-5m - 3} $，当 $ m $ 为何值时，
(1) $ f(x) $ 是幂函数；
(2) $ f(x) $ 是幂函数，且是 $ (0, +\infty) $ 上的增函数；
(3) $ f(x) $ 是正比例函数；
(4) $ f(x) $ 是反比例函数；
(5) $ f(x) $ 是二次函数。

答案： 10. 解析:
(1)因为函数$f(x)$是幂函数,所以$m^2 - m - 1 = 1$,解得$m = 2$或$m = -1$.
(2)当$m = 2$时,$f(x) = x^{-13}$,函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上是减函数,当$m = -1$时,$f(x) = x^2$,函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上是增函数,
综上可知,当$m = -1$时,$f(x) = x^2$满足条件.
(3)若函数$f(x)$是正比例函数,则$-5m - 3 = 1$,解得$m = -\dfrac{4}{5}$.
(4)若函数$f(x)$是反比例函数,则$-5m - 3 = -1$,解得$m = -\dfrac{2}{5}$.
(5)若函数$f(x)$是二次函数,则$-5m - 3 = 2$,解得$m = -1$.

11. 已知幂函数 $ f(x) = x^{m^{2} - 2m - 3} $（$ m \in \mathbf{N}^{*} $）的图象关于 $ y $ 轴对称，且在 $ (0, +\infty) $ 上是减函数，求满足 $ (a + 1)^{-\frac{m}{3}} ＜ (3 - 2a)^{-\frac{m}{3}} $ 的 $ a $ 的取值范围。

答案： 11. 解析:因为$f(x)$在$(0, +\infty)$上是减函数,所以$m^2 - 2m - 3 ＜ 0$,解得$-1 ＜ m ＜ 3$.
又$m\in \mathbf{N}^*$,所以$m = 1,2$,
当$m = 1$时,$f(x) = x^{-4}$,符合题意,
当$m = 2$时,$f(x) = x^{-3}$,不符合题意,舍去,
所以$m = 1$.
因为$(a + 1)^{-\frac{1}{3}} ＜ (3 - 2a)^{-\frac{1}{3}}$,
则$\begin{cases}a + 1 ＜ 0, \\ 3 - 2a ＜ 0, \\ a + 1 ＞ 3 - 2a\end{cases}$或$\begin{cases}a + 1 ＞ 0, \\ 3 - 2a ＞ 0, \\ a + 1 ＞ 3 - 2a\end{cases}$或$\begin{cases}a + 1 ＜ 0, \\ 3 - 2a ＞ 0\end{cases}$
解得$\dfrac{2}{3} ＜ a ＜ \dfrac{3}{2}$或$a ＜ -1$.

12. 已知幂函数 $ h(x) = (m^{2} - 5m + 1)x^{m + 1} $ 为奇函数。
(1) 求实数 $ m $ 的值；
(2) 求函数 $ g(x) = h(x) + \sqrt{1 - 2h(x)} $（$ x \in [0, \frac{1}{2}) $）的值域。

答案： 12. 解析:
(1)因为函数$h(x) = (m^2 - 5m + 1)x^{m + 1}$为幂函数,所以$m^2 - 5m + 1 = 1$,解得$m = 0$或$5$,
当$m = 0$时,$h(x) = x$,$h(x)$为奇函数,符合题意；
当$m = 5$时,$h(x) = x^6$,$h(x)$为偶函数,不符合题意,舍去.
所以$m = 0$.
(2)由
(1)可知,$h(x) = x$,
则$g(x) = x + \sqrt{1 - 2x}$,$x\in \left[0, \dfrac{1}{2}\right)$.
令$\sqrt{1 - 2x} = t$,则$x = -\dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{2}$,$t\in (0, 1]$,则$g(t) = -\dfrac{1}{2}t^2 + t + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}(t - 1)^2 + 1$,$t\in (0, 1]$,
所以函数$g(t)$的图象为开口向下,对称轴为直线$t = 1$的抛物线,
所以当$t = 0$时,$g(0) = \dfrac{1}{2}$,当$t = 1$,函数$g(t)$取得最大值为$1$,所以$g(t)$的值域为$\left(\dfrac{1}{2}, 1\right]$,
故函数$g(x)$的值域为$\left(\dfrac{1}{2}, 1\right]$.

13. 已知幂函数 $ y = f(x) = x^{m^{2} - 2m - 3} $（$ m \in \mathbf{Z} $）在 $ (0, +\infty) $ 上是严格减函数，且为偶函数。
(1) 求 $ y = f(x) $ 的解析式；
(2) 讨论函数 $ y = af(x) + (a - 2)x^{5} · f(x) $ 的奇偶性，并说明理由。

答案： 13. 解析:
(1)因为幂函数$y = f(x) = x^{m^2 - 2m - 3}(m\in \mathbf{Z})$在$(0, +\infty)$上是严格减函数,
所以$m^2 - 2m - 3 ＜ 0$,即$(m - 3)(m + 1) ＜ 0$,解得$-1 ＜ m ＜ 3$,因为$m\in \mathbf{Z}$,所以$m = 0,1,2$.
当$m = 0$时,$y = f(x) = x^{-3}$,此时$y = f(x)$为奇函数,不符合题意.
当$m = 1$时,$y = f(x) = x^{-4}$,此时$y = f(x)$为偶函数,符合题意.
当$m = 2$时,$y = f(x) = x^{-3}$,此时$y = f(x)$为奇函数,不符合题意.
所以$y = f(x) = x^{-4}$.
(2)$y = ax^{-4} + (a - 2)x^5· x^{-4} = ax^{-4} + (a - 2)x$,
令$F(x) = ax^{-4} + (a - 2)x$,
当$a = 0$时,$F(x) = -2x$,$F(-x) = -2× (-x) = 2x = -F(x)$,此时是奇函数,
当$a = 2$时,$F(x) = 2x^{-4} = \dfrac{2}{x^4}$,$F(-x) = 2(-x)^{-4} = \dfrac{2}{(-x)^4} = \dfrac{2}{x^4}$,此时是偶函数,
当$a \neq 0$且$a \neq 2$时,$F(1) = a + (a - 2) = 2a - 2$,
$F(-1) = a - (a - 2) = 2$,
$F(1) \neq F(-1)$,$F(-1) \neq -F(1)$,此时是非奇非偶函数.

1. 已知幂函数 $ f(x) = (p^{2} - 3p + 3)x^{p^{2} - \frac{3}{2}p - \frac{1}{2}} $（$ p \in \mathbf{R} $）满足 $ f(2) ＜ f(4) $。
(1) 求函数 $ f(x) $ 的解析式；
(2) 若函数 $ g(x) = [f(x)]^{2} + mf(x) $，$ x \in [1, 9] $，且 $ g(x) $ 的最小值为 0，求实数 $ m $ 的值；
(3) 若函数 $ h(x) = n - f(x + 3) $，是否存在实数 $ a, b $（$ a ＜ b $），使函数 $ h(x) $ 在 $ [a, b] $ 上的值域为 $ [a, b] $？若存在，求出实数 $ n $ 的取值范围，若不存在，请说明理由。

答案： 1. 解析:
(1)因为$f(x)$为幂函数,所以$p^2 - 3p + 3 = 1$,所以$p = 1$或$p = 2$.
当$p = 1$时,$f(x) = x^{-1}$在$(0, +\infty)$上单调递减,故$f(2) ＞ f(4)$,不符合题意.
当$p = 2$时,$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$在$(0, +\infty)$上单调递增,故$f(2) ＜ f(4)$,符合题意.所以$f(x) = \sqrt{x}$.
(2)$g(x) = x + m\sqrt{x}$,令$t = \sqrt{x}$,$t\in [1, 3]$,
所以$g(t) = t^2 + mt$,$t\in [1, 3]$.
①当$-\dfrac{m}{2} \leqslant 1$,即$m \geqslant -2$时,则当$t = 1$时,$g(x)$有最小值,所以$1 + m = 0$,即$m = -1$.
②当$1 ＜ -\dfrac{m}{2} ＜ 3$,即$-6 ＜ m ＜ -2$时,则当$t = -\dfrac{m}{2}$时,$g(x)$有最小值,
所以$-\dfrac{m^2}{4} = 0$,即$m = 0$(舍去).
③当$-\dfrac{m}{2} \geqslant 3$,即$m \leqslant -6$时,则当$t = 3$时,$g(x)$有最小值,
所以$9 + 3m = 0$,即$m = -3$(舍去).
综上所述,$m = -1$.
(3)$h(x) = n - \sqrt{x + 3}$,易知$h(x)$在$[-3, +\infty)$上单调递减,
所以$\begin{cases}h(a) = b, \\ h(b) = a\end{cases}$即$\begin{cases}n - \sqrt{a + 3} = b, \\ n - \sqrt{b + 3} = a\end{cases}$
两式相减$\sqrt{a + 3} - \sqrt{b + 3} = a - b = (a + 3) - (b + 3)$,
又$(a + 3) - (b + 3) = (\sqrt{a + 3} - \sqrt{b + 3})(\sqrt{a + 3} + \sqrt{b + 3})$,
所以$\sqrt{a + 3} + \sqrt{b + 3} = 1$,
故$n = a + \sqrt{b + 3} = a + 1 - \sqrt{a + 3}$.
因为$a \geqslant -3$且$a ＜ b$,$b = n - \sqrt{a + 3} = a + 1 - 2\sqrt{a + 3}$,
所以$a ＜ a + 1 - 2\sqrt{a + 3}$,解得$-3 \leqslant a ＜ -\dfrac{11}{4}$.
令$t = \sqrt{a + 3}$,所以$0 \leqslant t ＜ \dfrac{1}{2}$,
所以$n = a + 1 - \sqrt{a + 3} = t^2 - t - 2 = \left(t - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4}\left(0 \leqslant t ＜ \dfrac{1}{2}\right)$,所以$-\dfrac{9}{4} ＜ n \leqslant -2$,
故实数$n$的取值范围是$\left(-\dfrac{9}{4}, -2\right]$.