《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

13. 计算：
(1)$7\sqrt[3]{3}-3\sqrt[3]{24}-6\sqrt[3]{\frac{1}{9}}+\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}$；
(2)$0.0016^{-\frac{1}{4}} - 0.027^{\frac{1}{3}} - [81^{-0.25}+(15\frac{5}{8})^{-\frac{1}{3}}]^{-\frac{1}{2}}×[7×(\frac{5}{8})^0]^{-1}$。

答案： 13. 解析:
(1)原式$=7×3^{\frac{1}{3}} - 3×3^{\frac{1}{3}}×2 - 6×3^{-\frac{2}{3}} + \left(3×3^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{3}} - 6×3^{-\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}=2×3^{\frac{1}{3}} - 2×3×3^{-\frac{2}{3}}=2×3^{\frac{1}{3}} - 2×3^{\frac{1}{3}} = 0$。
(2)原式$=\left[\left(\frac{2}{10}\right)^{4}\right]^{-\frac{1}{4}} - \left(0.3^{3}\right)^{\frac{1}{3}} - \left[3^{-1}+\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}\right]^{-\frac{1}{2}}×7^{-1}=\left(\frac{2}{10}\right)^{-1} - 0.3 - \left(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\right)^{-\frac{1}{2}}×7^{-1}=\frac{10}{2} - \frac{3}{10} - \frac{1}{7}×\sqrt{\frac{15}{11}}=\frac{47}{10}-\frac{\sqrt{165}}{77}$。

14. 已知$2^a·3^b = 2^c·3^d = 6$，求证：$(a - 1)(d - 1)=(c - 1)(b - 1)$。

答案： 14. 证明:因为$2^{a}·3^{b}=6 = 2×3$，所以$2^{a - 1}·3^{b - 1}=1$，所以$\left(2^{a - 1}·3^{b - 1}\right)^{d - 1}=1$，即$2^{(a - 1)(d - 1)}3^{(d - 1)(b - 1)} = 1$ ①。又$2^{c}·3^{d}=6$，所以$2^{c - 1}·3^{d - 1}=1$。所以$\left(2^{c - 1}·3^{d - 1}\right)^{b - 1}=1$，所以$2^{(c - 1)(b - 1)}3^{(d - 1)(b - 1)} = 1$ ②。由①②知$2^{(a - 1)(d - 1)} = 2^{(c - 1)(b - 1)}$，所以$(a - 1)(d - 1) = (c - 1)(b - 1)$。

15. 已知函数$f(x)=\frac{x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}}{5}$，$g(x)=\frac{x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}}}{5}$。
(1)求证：$f(x)$在$(0,+\infty)$上是增函数；
(2)分别计算$f(4) - 5f(2)g(2)$和$f(9) - 5f(3)g(3)$的值，由此概括出涉及函数$f(x)$和$g(x)$对所有不等于零的实数$x$都成立的一个等式，并加以证明。

答案： 15. 证明:
(1)设$x_{1}\gt x_{2}\gt0$，所以$f(x_{1}) - f(x_{2})=\frac{1}{5}\left(x_{1}^{\frac{1}{3}} - x_{1}^{-\frac{1}{3}} - x_{2}^{\frac{1}{3}} + x_{2}^{-\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{5}\left(x_{1}^{\frac{1}{3}} - x_{2}^{\frac{1}{3}}\right)\left[1 + (x_{1}x_{2})^{-\frac{1}{3}}\right]$。因为$y = x^{\frac{1}{3}}$在$\mathrm{R}$上是增函数，所以$x_{1}^{\frac{1}{3}}\gt x_{2}^{\frac{1}{3}}$。又因为$(x_{1}x_{2})^{-\frac{1}{3}}\gt0$，所以$f(x)$在$(0, +\infty)$上是增函数。
(2)经计算知$f(4) - 5f(2)g(2) = 0$，$f(9) - 5f(3)g(3) = 0$，由此猜想$f(x^{2}) - 5f(x)g(x) = 0$。证明如下:$f(x^{2}) - 5f(x)g(x)=\frac{1}{5}\left(x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{2}{3}}\right) - \frac{1}{5}\left(x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{5}\left(x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{2}{3}}\right) - \frac{1}{5}\left(x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{2}{3}}\right) = 0$。