《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

$[$例$10]$已知函数$f(x)=|x+1|+$　　
$|x−2|,g(x)=|x−3|.$　　
$(1)$在平面直角坐标系里作出$f(x)、$　　
$g(x)$的图象$.$　　
$(2)Vx∈R,$用$min(x)$表示$f(x)、$$g(x)$　　
中的较小者$,$记作$min(x)={f(x),g(x)},$　　
请用图象法和解析法表示$min(x);$　　
$(3)$求满足$f(x)＞g(x)$的$x$的取值　　
范围$.$　　

答案：
解析$ (1)f(x)=|x+1|+|x−2|$　　
$2x−1,x≥2,$　　
$=${$3,−1＜x＜2,$　　
$1−2x,x＜−1;$　　
$g(x)=|x−3|=${$x3−−x3,,xx≥＜33,,$　　
则对应的图象如下$.$　　

$(2)$函数$min(x)$的图象如下$.$　　

$3−x,x＜−2$或$0≤x＜3,$　　
$min(x)=13−,−2×1＜,−x2＜0x,≤−1,$　　
$x−3,x≥3.$　　
{　　
$(3)$若$f(x)＞g(x),$则由图象知在$A$点　　
左侧，$B$点右侧满足条件，此时对应的$x$满足　　
$x＞0$或$x＜−2,$　　
即$x$的取值范围为$(-8,−2)U$　　
$(0,+∞).$　　

变式$ $已知函数$f(x)=|2x$十$a|−|x−1l.$　　
$(1)$若$a=2,$画出函数$f(x)$的图象$,$并　　
求出$f(x)$的最值$;$　　
$(2)$若关于$x$的不等式$f(x)−|x−1|≤$　　
$3a+1$恒成立，求$a$的取值范围$.$　　

答案：
解析$ (1)$若$a=2，$则$ f(x)=$　　
$−x−3,x＜−1,$　　
$|2x+2|−|x−1|=${$3x+1,−1≤x≤1,$　　
$x+3,x＞1,$　　
则函数$f(x)$的图象如图所示，　　

由图象可知$f(x)$的最小值为$−2,$无最大值$.$　　
$(2)$由$f(x)$一$|x−1|≤3a+1$恒成立，　　
得$|2x$十$a|−|2x−2|≤3a+1$恒成立，　　
因为$|2x+a|−|2x−2|≤l(2x+a)−$　　
$(2x−2)|=|a+2|,$所以$|a+2|≤3a+1,$　　
即$−3a−1≤a+2≤3a+1,$解得$a≥$　　$\frac{1}{2}$$,$　　
故$α$的取值范围为$[$　　$\frac{1}{2}$$,+∞0).$