《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 若不等式$ax^{2}-x + c＞0$的解集为$\{x|-2＜x＜1\}$，则函数$y = ax^{2}+x + c$的图象大致为(C)

答案： 1. 解析:因为不等式$ax^{2}-x + c＞0$的解集为$\{x\mid - 2＜x＜1\}$,
则$\begin{cases}a＜0,\\-2=\dfrac{c}{a},\\-1=\dfrac{1}{a},\end{cases}$解得$a = - 1$,$c = 2$,
故所求函数解析式为$y = - (x + 1)(x - 2)$,抛物线开口向下,与$x$轴的交点的横坐标分别为$- 1$,$2$,故选C.

2. 不等式$\frac{1 + x}{1 - x}\geqslant0$的解集为(B)

A.$\{x|-1＜x\leqslant1\}$
B.$\{x|-1\leqslant x＜1\}$
C.$\{x|-1\leqslant x\leqslant1\}$
D.$\{x|-1＜x＜1\}$

答案： 2. 解析:不等式$\dfrac{1 + x}{1 - x}\geqslant0$等价于$\begin{cases}(1 + x)(1 - x)\geqslant0,\\1 - x\neq0,\end{cases}$
解得$- 1\leqslant x＜1$.故选B.

3. 若不等式$2kx^{2}+kx-\frac{3}{8}＜0$对任意实数$x$都成立，则$k$的取值范围为(D)

A.$-3＜k＜0$
B.$-3\leqslant k＜0$
C.$-3\leqslant k\leqslant0$
D.$-3＜k\leqslant0$

答案： 3. 解析:当$k = 0$时,原不等式可化为$-\dfrac{3}{8}＜0$,对任意实数$x$恒成立.
当$k\neq0$时,要使原不等式恒成立,
需$\begin{cases}2k＜0,\\\Delta = k^{2}-8k×\left(-\dfrac{3}{8}\right)＜0,\end{cases}$解得$- 3＜k＜0$.
综上,$- 3＜k\leqslant0$.故选D.

4. 若关于$x$的方程$x^{2}+(m - 1)x + m^{2}-2 = 0$的一个实数根小于$-1$，另一个实数根大于$1$，则实数$m$的取值范围是(D)

A.$\{m|-2＜m＜2\}$
B.$\{m|-2＜m＜0\}$
C.$\{m|-2＜m＜1\}$
D.$\{m|0＜m＜1\}$

答案： 4. 解析:令$y = x^{2}+(m - 1)x + m^{2}-2$,由函数图象知$\begin{cases}m^{2}-m＜0,\\m^{2}+m - 2＜0,\end{cases}$解得$0＜m＜1$,故选D.

5. 若不等式$(ax - 2)(|x| - b)\geqslant0$对任意正实数$x$恒成立，则(B)

A.$a＞0$，$ab=\frac{1}{2}$
B.$a＞0$，$ab = 2$
C.$a＞0$，$a = 2b$
D.$a＞0$，$b = 2a$

答案： 5. 解析:由题意可知$a＞0$,故原不等式等价于$\left(x-\dfrac{2}{a}\right)(|x|-b)\geqslant0$.
当$b\leqslant0$时,$|x|-b\geqslant0$恒成立,而$x-\dfrac{2}{a}\geqslant0$不恒成立,故$b＞0$,
由二次函数性质知必有$\dfrac{2}{a}=b$,即$ab = 2$.故选B.

6. 记不等式$x^{2}+x - 2＞0$，$x^{2}-ax + 1\leqslant0(a＞0)$的解集分别为$A$，$B$，$A\cap B$中有且只有两个正整数解，则实数$a$的取值范围为(B)

A.$\frac{10}{3}＜a＜\frac{17}{4}$
B.$\frac{10}{3}\leqslant a＜\frac{17}{4}$
C.$\frac{5}{2}＜a＜\frac{17}{4}$
D.$\frac{5}{2}\leqslant a＜\frac{17}{4}$

答案： 6. 解析:由$x^{2}+x - 2＞0$可得$x＜-2$或$x＞1$,所以$A = \{x\mid x＜-2 或 x＞1\}$.
因为$A\cap B$中有且只有两个正整数解,则$A\cap B\neq\varnothing$.不等式$x^{2}-ax + 1＜0(a＞0)$有解,其对应的一元二次方程的判别式$\Delta = a^{2}-4＞0$,解得$a＞2$,
方程$x^{2}-ax + 1 = 0$的两根分别为$x_{1}=\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}$,
从而不等式$x^{2}-ax + 1＜0$的解集为$B=\left\{x\mid \dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}＜x＜\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right\}$.
当$\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}\leqslant1$时,则$3\leqslant\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}＜4$,解得$\dfrac{10}{3}\leqslant a＜\dfrac{17}{4}$.
当$\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}＞1$时,$\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}=\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}+1$,解得$a = -\sqrt{5}$,不合题意,舍去.
综上,$a$的取值范围是$\left[\dfrac{10}{3},\dfrac{17}{4}\right)$,故选B.

7. 设关于$x$的不等式$\frac{x^{2}+2(a^{2}+1)x - a^{2}+4a - 7}{x^{2}+(a^{2}+4a - 5)x - a^{2}+4a - 7}＜0$的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度和(规定：区间$(a,b)$的长度为$b - a$)不小于$12$，则$a$的取值范围为(A)

A.$a\leqslant-1$或$a\geqslant5$
B.$a＜-1$或$a\geqslant5$
C.$a\leqslant-2$或$a\geqslant3$
D.$a\leqslant-2$或$a\geqslant3$

答案： 7. 解析:对方程$x^{2}+(2a^{2}+2)x - a^{2}+4a - 7 = 0$,
由于$\Delta$_________${1}=4(a^{2}+1)^{2}+4(a^{2}-4a + 7)=4(a^{2}+1)^{2}+4(a - 2)^{2}+12＞0$,
设其两根分别为$x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1}＜x_{2}$.
对方程$x^{2}+(a^{2}+4a - 5)x - a^{2}+4a - 7 = 0$,
由于$\Delta$_________${2}=(a^{2}+4a - 5)^{2}+4(a^{2}-4a + 7)=4(a^{2}+4a - 5)^{2}+4(a - 2)^{2}+12＞0$,
设其两根分别为$x_{3}$,$x_{4}$,且$x_{3}＜x_{4}$,
则$x_{1}x_{2}=x_{3}x_{4}=-(a - 2)^{2}-3＜0$,
$x_{1}+x_{2}-(x_{3}+x_{4})=-(a - 2)^{2}-3＜0$,
所以$x_{1}＜x_{3}＜x_{2}＜x_{4}$,
所以不等式的解集为$(x_{1},x_{3})\cup(x_{2},x_{4})$,
由题意得$x_{3}-x_{1}+(x_{4}-x_{2})\geqslant12$,即$a^{2}-4a + 7\geqslant12$,解得$a\leqslant - 1$或$a\geqslant5$.故选A.