《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 2】如图，设 $ U $ 是全集，$ A $，$ B $，$ C $ 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(B)

A.$ ( A \cap B ) \cap C $
B.$ ( A \cap \complement$${ U } B ) \cap C $
C.$ ( A \cap B ) \cap \complement$${ U } C $
D.$ ( \complement$${ U } B \cup A ) \cap C $

答案： 解析 图中的阴影部分为 $ A $ 与 $ C $ 的公共部分去掉属于 $ B $ 的那部分元素后剩余元素组成的集合，即 $ ( A \cap C ) \cap ( \complement$
${ U } B ) = ( A \cap \complement$
${ U } B ) \cap C $，故选 B.
点睛 对于韦恩图表述的集合应做如下理解：阴影部分涉及谁就交谁，不涉及谁就交其补集.

【例 3】已知集合$A = \{ x | x ^ { 2 } - 10 x + 21 \leq 0 \}$，$B = \{ x | 2 ＜ x ＜ 6 \}$，
求：①$A \cap B$；②$A \cup B$；③$( \complement$_________${ \mathbf { R } } A ) \cap B$；④$A \cap ( \complement$_________${ \mathbf { R } } B )$；⑤$\complement$_________${ \mathbf { R } } ( A \cap B )$；⑥$\complement$_________${ \mathbf { R } } ( A \cup B )$；⑦$( \complement$_________${ \mathbf { R } } A ) \cap ( \complement$_________${ \mathbf { R } } B )$；⑧$( \complement$_________${ \mathbf { R } } A ) \cup ( \complement$_________${ \mathbf { R } } B )$。

答案： 解析 因为 $ A = \{ x | 3 \leqslant x \leqslant 7 \} $，
所以 $ \complement$
${ \mathbf { R } } A = \{ x | x ＜ 3 $ 或 $ x ＞ 7 \} $.
因为 $ B = \{ x | 2 ＜ x ＜ 6 \} $，
所以 $ \complement$
${ \mathbf { R } } B = \{ x | x \leqslant 2 $ 或 $ x \geqslant 6 \} $.
① $ A \cap B = \{ x | 3 \leqslant x ＜ 6 \} $；
② $ A \cup B = \{ x | 2 ＜ x \leqslant 7 \} $；
③ $ ( \complement$
${ \mathbf { R } } A ) \cap B = \{ x | 2 ＜ x ＜ 3 \} $；
④ $ A \cap ( \complement$
${ \mathbf { R } } B ) = \{ x | 6 \leqslant x \leqslant 7 \} $；
⑤ $ \complement$
${ \mathbf { R } } ( A \cap B ) = \{ x | x ＜ 3 $ 或 $ x \geqslant 6 \} $；
⑥ $ \complement$
${ \mathbf { R } } ( A \cup B ) = \{ x | x \leqslant 2 $ 或 $ x ＞ 7 \} $；
⑦ $ ( \complement$
${ \mathbf { R } } A ) \cap ( \complement$
${ \mathbf { R } } B ) = \{ x | x ＜ 3 $ 或 $ x ＞ 7 \} \cap \{ x | x \leqslant 2 $ 或 $ x \geqslant 6 \} = \{ x | x \leqslant 2 $ 或 $ x ＞ 7 \} $；
⑧ $ ( \complement$
${ \mathbf { R } } A ) \cup ( \complement$
${ \mathbf { R } } B ) = \{ x | x ＜ 3 $ 或 $ x ＞ 7 \} \cup \{ x | x \leqslant 2 $ 或 $ x \geqslant 6 \} = \{ x | x ＜ 3 $ 或 $ x \geqslant 6 \} $.
点睛 集合混合运算时要注意运算顺序，先算括号内的. 此类集合的运算可借助数轴直接观察.

【例 4】设全集 $ U = \{ x | x ＜ 10, x \in \mathbf { N } ^ { * } \} $，$ A \subseteq U $，$ B \subseteq U $，且 $ ( \complement$${ U } B ) \cap A = \{ 2, 8 \} $，$ A \cap B = \{ 5 \} $，$ ( \complement$${ U } A ) \cap ( \complement$${ U } B ) = \{ 4, 6, 7 \} $，求集合 $ A $，$ B $.
解析 由 $ ( \complement$${ U } B ) \cap A = \{ 2, 8 \} $ 知 $ 2 \in A $，$ 8 \in A $，$ 2 \notin B $，$ 8 \notin B $.
由 $ A \cap B = \{ 5 \} $ 得 $ 5 \in A $，$ 5 \in B $，
由 $ ( \complement$${ U } A ) \cap ( \complement$${ U } B ) = \{ 4, 6, 7 \} $ 得 $ \complement$${ U } ( A \cup B ) = \{ 4, 6, 7 \} $，即 $ 4, 6, 7 \notin A $，$ 4, 6, 7 \notin B $，用韦恩图表示如下.

所以 $ A = \{ 2, 5, 8 \} $，$ B = \{ 1, 3, 5, 9 \} $.
点睛 熟练掌握交并补运算的定义是解本题的关键，集合的运算可借助韦恩图直观呈现.

答案：
解析 由 $ ( \complement$

${ U } B ) \cap A = \{ 2, 8 \} $ 知 $ 2 \in A $，$ 8 \in A $，$ 2 \notin B $，$ 8 \notin B $.
由 $ A \cap B = \{ 5 \} $ 得 $ 5 \in A $，$ 5 \in B $，
由 $ ( \complement$

${ U } A ) \cap ( \complement$

${ U } B ) = \{ 4, 6, 7 \} $ 得 $ \complement$

${ U } ( A \cup B ) = \{ 4, 6, 7 \} $，即 $ 4, 6, 7 \notin A $，$ 4, 6, 7 \notin B $，用韦恩图表示如下.

所以 $ A = \{ 2, 5, 8 \} $，$ B = \{ 1, 3, 5, 9 \} $.
点睛 熟练掌握交并补运算的定义是解本题的关键，集合的运算可借助韦恩图直观呈现.

【例 5】设集合 $ A = \{ x | 2 ＜ x ＜ 3 \} $，$ B = \{ x | a ＜ x ＜ 5 \} $，若 $ A \cup B = \{ x | 2 ＜ x ＜ 5 \} $，则 $ a $ 的取值范围是 (A)
A. $ 2 \leqslant a ＜ 3 $
B. $ 2 ＜ a ＜ 5 $
C. $ a \leqslant 2 $
D. $ a ＜ 5 $
解析 $ A = \{ x | 2 ＜ x ＜ 3 \} $，$ B = \{ x | a ＜ x ＜ 5 \} $，$ A \cup B = \{ x | 2 ＜ x ＜ 5 \} $，
由数轴得 $ 2 \leqslant a ＜ 3 $，故选 A.

答案：
解析 $ A = \{ x | 2 ＜ x ＜ 3 \} $，$ B = \{ x | a ＜ x ＜ 5 \} $，$ A \cup B = \{ x | 2 ＜ x ＜ 5 \} $，
由数轴得 $ 2 \leqslant a ＜ 3 $，故选 A.