《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 如图，已知全集 $ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} $，$ M = \{ 1, 3, 5 \} $，$ N = \{ 3, 5, 7, 9 \} $，则图中阴影部分所表示的集合是 (C)


A.$ \{ 1 \} $
B.$ \{ 3, 5 \} $
C.$ \{ 7, 9 \} $
D.$ \{ 1, 3, 5, 7, 9 \} $

答案： 解析：易知图中阴影部分所表示的集合为$ N\cap \complement_{U}M = \{7,9\} $，故选 C。

2. 已知 $ a $，$ b \in \mathbf { R } $，集合 $ A = \{ a + 5, a ^ { 2 } - 1 \} $，$ B = \{ a, b \} $，若 $ A \cap B = \{ 3 \} $，则 $ A \cup B = $ (D)

A.$ \{ - 2, 3 \} $
B.$ \{ 2, 3 \} $
C.$ \{ 2, 3, 5 \} $
D.$ \{ 2, 3, 7 \} $

答案： 解析：由题意可知$ 3\in A $且$ 3\in B $，
若$ a + 5 = 3 $，则$ a = -2 $，此时$ a^2 - 1 = 3 $，集合$ A $违背集合中元素的互异性。
若$ a^2 - 1 = 3 $，则$ a = \pm 2 $，当$ a = -2 $时，集合$ A $违背集合中元素的互异性，
故$ a = 2 $，此时$ A = \{7,3\} $，$ B = \{2,3\} $，则$ A\cup B = \{2,3,7\} $。故选 D。

3. 已知集合 $ M = \{ x | x \geqslant 1 \} $，$ U = \{ x | x ^ { 2 } + x ＞ 0 \} $，则 $ \complement$${ U } M = $ (D)

A.$ \{ x | x ＜ 1 \} $
B.$ \{ x | x ＜ - 1 \} $
C.$ \{ x | 0 ＜ x ＜ 1 \} $
D.$ \{ x | x ＜ - 1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 \} $

答案： 解析：因为$ M = [1, +\infty) $，$ U = (-\infty, -1)\cup(0, +\infty) $，所以$ \complement_{U}M = (-\infty, -1)\cup(0, 1) $，故选 D。

4. 设集合 $ A = \{ 0, 2, 4 \} $，$ B = \{ x | x ^ { 2 } - m x + n = 0 \} $，若 $ A \cup B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $，则 $ m + n = $ (D)

A.$ 1 $
B.$ 3 $
C.$ 5 $
D.$ 7 $

答案： 解析：因为$ A = \{0,2,4\} $，$ B = \{x|x^2 - mx + n = 0\} $，$ A\cup B = \{0,1,2,3,4\} $，所以$ B = \{1,3\} $，所以$ x = 1,3 $是方程$ x^2 - mx + n = 0 $的两个实根，所以根据韦达定理，$ \begin{cases} m = 1 + 3, \\ n = 1× 3, \end{cases} $即$ m + n = 7 $。故选 D。

5. 已知集合 $ A = \{ x | y = \sqrt { 9 - x ^ { 2 } } \} $，$ B = \{ x | x \geqslant a \} $，若 $ A \cap B = A $，则实数 $ a $ 的取值范围是 (A)

A.$ a \leqslant - 3 $
B.$ a ＜ - 3 $
C.$ a \leqslant 0 $
D.$ a \geqslant 3 $

答案： 解析：因为$ A = \{x|y = \sqrt{9 - x^2}\} = [-3, 3] \subseteq B = \{x|x \geq a\} $，所以$ a \leq -3 $，故选 A。

6. 设集合 $ A = \{ x | x ^ { 2 } + m x - 2 ＜ 0 \} $，$ B = \{ x | - 1 \leqslant x \leqslant 3 \} $，且 $ A \cup B = \{ x | - 2 ＜ x \leqslant 3 \} $，则 $ A \cap B = $ (A)

A.$ \{ x | - 1 \leqslant x ＜ 1 \} $
B.$ \{ x | - 2 ＜ x ＜ 1 \} $
C.$ \{ x | - 2 ＜ x \leqslant - 1 \} $
D.$ \{ x | 1 ＜ x \leqslant 3 \} $

答案： 解析：因为集合$ A = \{x|x^2 + mx - 2 ＜ 0\} $，$ B = \{x|-1 \leq x \leq 3\} $，且$ A\cup B = \{x|-2 ＜ x \leq 3\} $，
所以$ -2 $是方程$ x^2 + mx - 2 = 0 $的根，解得$ m = 1 $，即$ A = \{x|x^2 + x - 2 ＜ 0\} = \{x|-2 ＜ x ＜ 1\} $，
所以$ A\cap B = \{x|-1 \leq x ＜ 1\} $。故选 A。

7. 已知全集为 $ U $，集合 $ A $，$ B $ 为 $ U $ 的子集，若 $ ( \complement$${ U } A ) \cap B = \varnothing $，则 $ A \cap B = $ (C)

A.$ \complement$${ U } B $
B.$ \complement$${ U } A $
C.$ B $
D.$ A $

答案： 解析：因为$ (\complement_{U}A)\cap B = \varnothing $，所以$ B \subseteq A $，所以$ A\cap B = B $。故选 C。

8. 已知集合 $ A = \{ x | x ^ { 2 } - x - 6 = 0 \} $，$ B = \{ x | a x + 6 = 0 \} $，若 $ A \cap B = B $，则实数 $ a $ 可能的值为 (ACD)

A.$ 3 $
B.$ 2 $
C.$ 0 $
D.$ - 2 $

答案： 解析：由$ A\cap B = B $可知$ B \subseteq A $，
当$ B = \varnothing $时，$ a = 0 $；当$ B = \{3\} $时，$ a = -2 $；当$ B = \{-2\} $时，$ a = 3 $，故选 ACD。

9. 若集合 $ M \subseteq N $，则下列结论中正确的是 (BD)

A.$ M \cap N = N $
B.$ M \cup N = N $
C.$ M \in ( M \cap N ) $
D.$ ( M \cup N ) \subseteq N $

答案： 解析：因为$ M \subseteq N $，所以集合$ M $为集合$ N $的子集，即$ M\cap N = M $，$ M\cup N = N $，故选 BD。

10. 若非空数集 $ M $ 满足对任意 $ x $，$ y \in M $，都有 $ x + y \in M $，$ x - y \in M $，则称 $ M $ 为“优集”. 已知集合 $ A $，$ B $ 是“优集”，则下列命题中正确的是 (ACD)

A.$ A \cap B $ 是“优集”
B.$ A \cup B $ 是“优集”
C.若 $ A \cup B $ 是“优集”，则 $ A \subseteq B $ 或 $ B \subseteq A $
D.若 $ A \cup B $ 是“优集”，则 $ A \cap B $ 是“优集”

答案： 解析：对于选项 A，任取$ x \in A\cap B $，$ y \in A\cap B $，
因为集合$ A $，$ B $是“优集”，则$ x + y \in A $，$ x + y \in B $，则$ x + y \in A\cap B $，
因为$ x - y \in A $，$ x - y \in B $，则$ x - y \in A\cap B $，所以 A 正确。
对于选项 B，取$ A = \{x|x = 2k, k \in \mathbb{Z}\} $，$ B = \{x|x = 3m, m \in \mathbb{Z}\} $，则$ A\cup B = \{x|x = 2k 或 x = 3k, k \in \mathbb{Z}\} $，令$ x = 3 $，$ y = 2 $，则$ x + y = 5 \notin A\cup B $，故 B 错误。
对于选项 C，任取$ x \in A $，$ y \in B $，则$ x, y \in A\cup B $，
因为$ A\cup B $是“优集”，所以$ x + y \in A\cup B $，$ x - y \in A\cup B $，
若$ x + y \in B $，则$ x = (x + y) - y \in B $，此时$ A \subseteq B $，
若$ x + y \in A $，则$ x = (x + y) - y \in A $，此时$ B \subseteq A $，
故 C 正确。
对于选项 D，因为$ A\cup B $是“优集”，所以$ A \subseteq B $或$ B \subseteq A $。当$ A \subseteq B $时，$ A\cap B = A $为“优集”，当$ B \subseteq A $时，$ A\cap B = B $为“优集”，所以$ A\cap B $是“优集”，故 D 正确。
故选 ACD。

11. 已知集合 $ A = \{ x \in \mathbf { R } | | x + 2 | ＜ 3 \} $，集合 $ B = \{ x | ( x - m ) ( x - 2 ) ＜ 0 \} $，且 $ A \cap B = \{ x | - 1 ＜ x ＜ n \} $，则 $ m =$-1$$ ，$ n =$1$$.

答案： 解析：$ A = \{x|-5 ＜ x ＜ 1\} $，
当$ m \geq 2 $时，$ A\cap B = \varnothing $，不符合题意，
所以$ m ＜ 2 $，即$ B = \{x|m ＜ x ＜ 2\} $，
又因为$ A\cap B = (-1, n) $，所以$ m = -1 $，$ n = 1 $。

12. 若集合 $ A = \{ ( x, y ) | y = 2 x - 1 \} $，$ B = \{ ( x, y ) | y = 3 x + 1 \} $，则 $ A \cap B =${(-2, -5)}$$.

答案： 解析：由题意可得$ \begin{cases} y = 2x - 1, \\ y = 3x + 1, \end{cases} $则$ \begin{cases} x = -2, \\ y = -5, \end{cases} $
所以$ A\cap B = \{(-2, -5)\} $。

13. 设集合 $ S = \{ x | | x - 2 | ＞ 3 \} $，$ T = \{ x | a ＜ x ＜ a + 8 \} $，$ S \cup T = \mathbf { R } $，则 $ a $ 的取值范围是.

答案： 解析：$ S = \{x|x ＜ -1 或 x ＞ 5\} $，
因为$ S\cup T = \mathbb{R} $，所以$ \begin{cases} a ＜ -1, \\ a + 8 ＞ 5, \end{cases} $
解得$ -3 ＜ a ＜ -1 $。