《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

15. 已知函数 $ f(x) = \frac{ax}{x^2 + bx + 1}(a ＞ 0) $ 是定义在 $ [-1, 1] $ 上的奇函数，且 $ f(1) = \frac{1}{2} $.
(1) 求 $ f(x) $ 的解析式；
(2) 判断 $ f(x) $ 的单调性并证明.

答案： 15.解析:
(1)因为f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数,所以f(−x)=−f(x),所以b=0.
　　又因为f
(1)=$\frac{1}{2}$,所以a=1,即f(x)=$\frac{x}{1+x²}$.
(2)f(x)在[−1,1]上单调递增.
　　证明:因为f(x₁)−f(x₂)=$\frac{x₁}{1+x₁²}$−$\frac{x₂}{1+x₂²}$=$\frac{(x₁−x₂)(1−x₁x₂)}{(1+x₁²)(1+x₂²)}$,
　　又因为x₁,x₂∈[−1,1],且x₁＜x₂,所以x₁−x₂＜0,1−x₁x₂＞0,所以f(x₁)＜f(x₂),
　　所以f(x)在[−1,1]上单调递增.

16. 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，当 $ x \geq 0 $ 时，$ f(x) = x^2 - 2x $.
(1) 求函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, 0) $ 上的解析式；
(2) 当 $ m ＞ 0 $ 时，若 $ |f(m)| = 1 $，求实数 $ m $ 的值.

答案： 16.解析:
(1)设x＜0,则−x＞0,所以f(−x)=(−x)²−2(−x)=x²+2x,
　　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
　　所以f(x)=f(−x)=x²+2x(x＜0),
　　所以函数f(x)在(−∞,0)上的解析式为f(x)=x²+2x.
(2)由|f(m)|=1得f(m)=±1.
　　因为m＞0,所以f(m)=m²−2m=±1.
　　由f(m)=m²−2m=1解得m=1+$\sqrt{2}$;
　　由f(m)=m²−2m=−1解得m=1,
　　所以m=1+$\sqrt{2}$或1.

17. 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{a} - \frac{1}{x}(a ＞ 0) $.
(1) 用单调性定义证明：函数 $ f(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增；
(2) 若不等式 $ f(x) \leq 2x $ 在 $ (1, +\infty) $ 上恒成立，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案：
17.解析:
(1)任取x₁,x₂∈(0,+∞),且x₁＜x₂,则f(x₁)−f(x₂)=($\frac{1}{a}$−$\frac{1}{x₁}$)−($\frac{1}{a}$−$\frac{1}{x₂}$)=$\frac{1}{x₂}$−$\frac{1}{x₁}$=$\frac{x₁−x₂}{x₁x₂}$.
　　因为x₁,x₂∈(0,+∞),且x₁＜x₂,
　所以x₁−x₂＜0,x₁x₂＞0,所以f(x₁)−f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)(方法1)当x∈(1,+∞)时,f(x)≤2x恒成立，即$\frac{1}{a}$−$\frac{1}{x}$≤2x恒成立，所以$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{x}$+2x恒成立，即$\frac{1}{a}$≤($\frac{1}{x}$+2x)min.
　令u=$\frac{1}{x}$+2x,则u=$\frac{1}{x}$+2x在(1,+∞)上单调递增，所以u＞3,于是$\frac{1}{a}$≤3,即a≥$\frac{1}{3}$.
　(方法2)当x∈(1,+∞)时,f(x)≤2x恒成立，即$\frac{1}{a}$−$\frac{1}{x}$≤2x恒成立,所以2x²+1≥$\frac{x}{a}$对x＞1 恒成立.
　画出函数g(x)=2x²+1的图象与过原点的直线y=$\frac{x}{a}$,如图所示，
　　　　　　　
　当直线y=$\frac{x}{a}$与函数y=g(x)图象相切时，因为方程2x²+1−$\frac{x}{a}$=0有两个相等实根，则Δ=(−$\frac{1}{a}$)²−8=0,解得$\frac{1}{a}$=2$\sqrt{2}$,此时x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1,不符合题意，舍去.
　由图可知，当直线y=$\frac{x}{a}$过点A(1,3)时有$\frac{1}{a}$=3,故当$\frac{1}{a}$≤3时满足题意，即a≥$\frac{1}{3}$.