《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例2】化简：(1)$\sqrt[4]{(4 - \pi)^4}$；
(2)$\sqrt{(a - b)^2}(a＞b)$；
(3)$(\sqrt{a - 1})^2+\sqrt[5]{(1 - a)^5}+\sqrt{(1 - a)^2}$。

答案：
(1)$\sqrt[4]{(4 - \pi)^4}=|4 - \pi|=4 - \pi$。
(2)$\sqrt{(a - b)^2}=|a - b|=a - b$。
(3)由题意知$a - 1\geqslant0$，即$a\geqslant1$。
原式$=a - 1 + 1 - a + |1 - a|=a - 1 + 1 - a + a - 1=a - 1$。

【例3】设$-2＜x＜2$，求$\sqrt{x^2 - 6x + 9}+\sqrt{x^2 + 8x + 16}$的值。

答案： 原式$=\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{(x+4)^2}=|x-3|+|x+4|$
因为$-2＜x＜2$，所以$x-3＜0$，$x+4＞0$
则$|x-3|=3-x$，$|x+4|=x+4$
原式$=3-x+x+4=7$
结论：7

变式 已知$x\in[1,2]$，化简$\sqrt[3]{(x - 1)^3}+\sqrt[10]{(x^2 - 4x + 4)^5}$。

答案： 1

【例4】用根式的形式表示下列各式。$(x＞0)$
(1)$x^{\frac{3}{5}}$；(2)$x^{-\frac{4}{3}}$。

答案：
(1)$x^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{x^3}$
(2)$x^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$

变式 用根式表示$x^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{3}{4}}$。$(x＞0,y＞0)$

答案： $x^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{3}{4}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}· y^{\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}· \sqrt[4]{y^{3}}=\frac{\sqrt[4]{y^{3}}}{\sqrt[3]{x}}$

【例5】把下列根式化成分数指数幂的形式，其中$a＞0$，$b＞0$。
(1)$\frac{1}{\sqrt[5]{a^4}}$；(2)$\sqrt[6]{a^7}$；
(3)$\sqrt{(-a)^8}$；(4)$\sqrt[4]{\frac{b^6}{a^3}}$。

答案：
(1)$\frac{1}{\sqrt[5]{a^4}}=\frac{1}{a^{\frac{4}{5}}}=a^{-\frac{4}{5}}$
(2)$\sqrt[6]{a^7}=a^{\frac{7}{6}}$
(3)$\sqrt{(-a)^8}=\sqrt{a^8}=a^{\frac{8}{2}}=a^4$
(4)$\sqrt[4]{\frac{b^6}{a^3}}=(\frac{b^6}{a^3})^{\frac{1}{4}}=b^{\frac{6}{4}}a^{-\frac{3}{4}}=a^{-\frac{3}{4}}b^{\frac{3}{2}}$

变式 把下列根式化成分数指数幂的形式。
(1)$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}(a＞0)$；(2)$\sqrt[4]{8\sqrt{2}}$；
(3)$\frac{1}{\sqrt[5]{x(\sqrt[5]{x^2})^2}}$；(4)$b^3·\sqrt[5]{b^4}$。

答案：
(1) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\sqrt{a· a^{\frac{1}{2}}· a^{\frac{1}{4}}}=\sqrt{a^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}=\sqrt{a^{\frac{7}{4}}}=a^{\frac{7}{8}}$
(2) $\sqrt[4]{8\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2^3· 2^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[4]{2^{\frac{7}{2}}}=2^{\frac{7}{8}}$
(3) $\frac{1}{\sqrt[5]{x(\sqrt[5]{x^2})^2}}=\frac{1}{\sqrt[5]{x· x^{\frac{4}{5}}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{x^{\frac{9}{5}}}}=x^{-\frac{9}{25}}$
(4) $b^3·\sqrt[5]{b^4}=b^3· b^{\frac{4}{5}}=b^{\frac{19}{5}}$