《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 若集合 $ M = \{ x | x \leq 6 \} $，$ a = 2\sqrt{2} $，则(C)

A.$ a \notin M $
B.$ a \subseteq M $
C.$ \{ a \} \subseteq M $
D.$ \{ a \} \in M $

答案： 1. 解析:根据集合与集合,集合与元素的关系易知$\{ a\} \subseteq M$正确,故选 C.

2. 若全集 $ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} $，$ M = \{ 1, 4 \} $，$ P = \{ 2, 3 \} $，则集合 $ \{ 5, 6 \} = $(D)

A.$ M \cup P $
B.$ M \cap P $
C.$ (\complement_{U}M) \cup (\complement_{U}P) $
D.$ (\complement_{U}M) \cap (\complement_{U}P) $

答案： 2. 解析:因为$\complement$_________${U}M=\{ 2,3,5,6\} ,\complement$_________${U}P=\{ 1,4,5,6\} ,$所以$(\complement$_________${U}M)\cap (\complement$_________${U}P)=\{ 5,6\} $,故选 D.

3. 已知全集为 $ \mathbf{N} $，集合 $ A = \{ 1, 2 \} $，$ B = \{ 2, 3, 4 \} $，则图中阴影部分所表示的集合是(B)


A.$ \{ 1 \} $
B.$ \{ 3, 4 \} $
C.$ \{ 2 \} $
D.$ \{ 1, 2, 3, 4 \} $

答案： 3. 解析:由题意可得图中阴影部分所表示的集合是$(\complement$_________${N}A)\cap B=\{ 3,4\} $,故选 B.

4. “$ a ＞ b $”是“$ a ＞ | b | $”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4. 解析:取$a=1,b=-3$,则有$a＞b$,而$a＜|b|$,故充分性不成立;必要性显然成立,故选 B.

5. 命题“$ \forall n \in \mathbf{N}^{*} $，$ f ( n ) ＜ n $”的否定形式是(D)

A.$ \forall n \in \mathbf{N}^{*} $，$ f ( n ) = n $
B.$ \forall n \in \mathbf{N}^{*} $，$ f ( n ) \geq n $
C.$ \exists n_{0} \in \mathbf{N}^{*} $，$ f ( n_{0} ) ＜ n_{0} $
D.$ \exists n_{0} \in \mathbf{N}^{*} $，$ f ( n_{0} ) \geq n_{0} $

答案： 5. 解析:由命题的否定的定义易得 D 正确,故选 D.

6. 已知集合 $ A = \{ x | x ＞ - 1 \} $，$ B = \{ x | x^{2} - x - 2 \geq 0 \} $，则下列关系中正确的是(D)

A.$ A \subseteq B $
B.$ \complement_{\mathbf{R}}A \subseteq \complement_{\mathbf{R}}B $
C.$ A \cap B = \varnothing $
D.$ A \cup B = \mathbf{R} $

答案： 6. 解析:因为$A=\{ x|x＞-1\} ,B=\{ x|x≥2$或$x≤-1\} $,所以$\complement$_________${R}A=\{ x|x≤-1\} ,\complement$_________${R}B=\{ x|-1＜x＜2\} ,$则$A\cup B=R,A\cap B=\{ x|x≥2\} $,故选 D.

7. 已知集合 $ S = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} $，$ A $是 $ S $ 的一个子集，当 $ x \in A $ 时，若有 $ x - 1 \notin A $，且 $ x + 1 \notin A $，则称 $ x $ 为 $ A $ 的一个“孤立元素”，那么 $ S $ 中无“孤立元素”的非空子集的个数为(D)

A.16
B.17
C.18
D.20

答案： 7. 解析:由题意可知单元素集合都含“孤立元素”.$S$中无“孤立元素”的 2 个元素的子集$A$为$\{ 0,1\} ,\{ 1,2\} ,\{ 2,3\} ,\{ 3,4\} ,\{ 4,5\} $,共5个.$S$中无“孤立元素”的 3 个元素的子集$A$为$\{ 0,1,2\} ,\{ 1,2,3\} ,\{ 2,3,4\} ,\{ 3,4,5\} $,共4个.$S$中无“孤立元素”的 4 个元素的子集$A$为$\{ 0,1,2,3\} ,\{ 0,1,3,4\} ,\{ 0,1,4,5\} ,\{ 1,2,3,4\} ,\{ 1,2,4,5\} ,\{ 2,3,4,5\} $,共6个.$S$中无“孤立元素”的 5 个元素的子集$A$为$\{ 0,1,2,3,4\} ,\{ 1,2,3,4,5\} ,\{ 0,1,2,4,5\} ,\{ 0,1,3,4,5\} $,共4个.$S$中无“孤立元素”的 6 个元素的子集$A$为$\{ 0,1,2,3,4,5\} $,共1个.故$S$中无“孤立元素”的非空子集有 20 个.故选 D.

8. 设 $ a $，$ b $，$ c $ 为实数，记集合 $ S = \{ x | ( x + a ) ( x^{2} + bx + c ) = 0, x \in \mathbf{R} \} $，$ T = \{ x | ( ax + 1 ) ( cx^{2} + bx + 1 ) = 0, x \in \mathbf{R} \} $。若 $ | S | $，$ | T | $ 分别为集合 $ S $，$ T $ 的元素个数，则下列结论中不可能的是(D)

A.$ | S | = 1 $ 且 $ | T | = 0 $
B.$ | S | = 1 $ 且 $ | T | = 1 $
C.$ | S | = 2 $ 且 $ | T | = 2 $
D.$ | S | = 2 $ 且 $ | T | = 3 $

答案： 8. 解析:当$|T|=3$时,$ax+1=0$有一个解,$cx^{2}+bx+1=0$有两个解,且$ax+1=0$的解$x=-\frac {1}{a}$不是$cx^{2}+bx+1=0$的解,所以$c(-\frac {1}{a})^{2}+b(-\frac {1}{a})+1≠0$,即$a^{2}-ab+c≠0$,所以$x+a=0$的解不是$x^{2}+bx+c=0$的解.又$cx^{2}+bx+1=0$有两个解,故$\Delta =b^{2}-4c＞0,x^{2}+bx+c=0$有两个不相等的解,所以$(x+a)(x^{2}+bx+c)=0$有3个解,即$|S|=3$,故选项 D 不可能成立.故选 D.

9. 设全集 $ U = \mathbf{R} $，若集合 $ M \subseteq N $，则下列结论中正确的是(ABD)

A.$ M \cap N = M $
B.$ M \cup N = N $
C.$ \complement_{U}M \subseteq \complement_{U}N $
D.$ ( M \cup N ) \subseteq N $

答案： 9. 解析:由题意可知$M\subseteq N$,故$M\cap N=M,M\cup N=N$,故选项 A,B 正确.因为$(M\cup N)\subseteq N$,故选项 D 正确.故选 ABD.