《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

9. 下列说法中正确的是(BD)

A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是 $60^{\circ}$
B.钝角大于锐角
C.三角形的内角必是第一或第二象限角
D.不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关

答案： 9.解析:对于选项A，时钟经过两个小时，时针转过的角是$- 60^{\circ}$，故A错误.
对于选项B，钝角一定大于锐角，显然B正确.
对于选项C，若三角形的内角为$90^{\circ}$，是终边在$y$轴正半轴上的角，故C错误.
对于选项D，由定义可知D正确.
故选BD.

10. 若 $2\pi ＜ \alpha ＜ 4\pi$，且角 $\alpha$ 的终边与角 $- \dfrac{7}{6}\pi$ 的终边垂直，则 $\alpha =$(AC)

A.$\dfrac{7}{3}\pi$
B.$\dfrac{8}{3}\pi$
C.$\dfrac{10}{3}\pi$
D.$\dfrac{11}{3}\pi$

答案： 10.解析:与角$-\frac{7}{6}\pi$的终边垂直的角可分为两类：
一类是与角$\frac{\pi}{3}$的终边相同，其表示形式为$\frac{\pi}{3}+2k\pi$($k\in\mathbf{Z}$)；另一类是与角$\frac{4\pi}{3}$的终边相同，其表示形式为$\frac{4\pi}{3}+2k\pi$($k\in\mathbf{Z}$)。故当$\alpha\in(2\pi,4\pi)$时，满足条件的角$\alpha$可以是$\frac{7}{3}\pi$或$\frac{10}{3}\pi$，故选AC.

11. 下列条件中，能使 $\alpha$ 和 $\beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称的是(BD)

A.$\alpha + \beta = 90^{\circ}$
B.$\alpha + \beta = 180^{\circ}$
C.$\alpha + \beta = k · 360^{\circ} + 90^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$
D.$\alpha + \beta = (2k + 1) · 180^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$

答案： 11.解析:若$0^{\circ}＜\alpha,\beta＜180^{\circ}$，因为$\alpha$和$\beta$的终边关于$y$轴对称，所以$\alpha + \beta = 180^{\circ}$，故选项B符合.
根据终边相同的角的概念，可知$\alpha + \beta=(2k + 1)·180^{\circ}$($k\in\mathbf{Z}$)，所以选项D符合，
故选BD.

12. 已知扇形的周长为 $20cm$，面积为 $16cm^{2}$，则扇形的圆心角 $\alpha$ 的弧度数为$\frac{1}{2}$ .

答案： 12.解析:设扇形圆心角$\alpha$，$\alpha\in(0,2\pi)$，半径为$r$，
则$\begin{cases}\alpha r + 2r = 20\frac{1}{2}\alpha r^{2}=16\end{cases}$，解得$\alpha=\frac{1}{2}$或$8$（舍去），
所以$\alpha=\frac{1}{2}$.

13. 已知集合 $A = \{ x | 2k\pi \leq x \leq 2k\pi + \pi, k \in \mathbf{Z} \}$，$B = \{ x | - 4 \leq x \leq 4 \}$，则 $A \cap B =$$\{x|-4\leq x\leq-\pi\}\cup\{x|0\leq x\leq\pi\}$ .

答案： 13.解析:当$k$ = 0时，$A=\{x|0\leq x\leq\pi\}$，此时$A\cap B=\{x|0\leq x\leq\pi\}$；
当$k$ = - 1时，$A=\{x|-2\pi\leq x\leq-\pi\}$，此时$A\cap B=\{x|-4\leq x\leq-\pi\}$；
当$k\leq - 2$或$k\geq1$时，$A\cap B=\varnothing$.
综上可得$A\cap B=\{x|-4\leq x\leq-\pi\}\cup\{x|0\leq x\leq\pi\}$.

14. 若角 $\beta$ 与角 $\dfrac{2\pi}{3}$ 的终边关于直线 $y = x$ 对称，则所有与角 $\beta$ 的终边相同的角构成的集合为$\{\beta|\beta=-\frac{\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$ .

答案： 14.解析:若$\beta\in(-2\pi,0)$，则与角$\frac{2}{3}\pi$的终边关于直线$y = x$对称的角$\beta=-\frac{\pi}{6}$，故当$\beta\in\mathbf{R}$时，角$\beta$的取值集合是{$\beta$|$\beta=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$,$k\in\mathbf{Z}$}.

15. 如图，$C$ 为半圆内一点，$O$ 为圆心，直径 $AB$ 的长为 $2$，$\angle BOC = 60^{\circ}$，$\angle BCO = 90^{\circ}$，将 $\triangle BOC$ 绕圆心 $O$ 按逆时针方向旋转至 $\triangle B'OC'$，点 $C'$ 在 $OA$ 上，则边 $BC$ 扫过的区域（图中阴影部分）的面积为$\frac{\pi}{4}$ .

答案： 15.解析:由题意知$OB = OA = 1$，$OC = OC'=\frac{1}{2}$，$BC = B'C'=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\angle B'OC=\angle B'OC'=\frac{\pi}{3}$，
所以扇形$AOB'$的面积为$\frac{\pi}{6}$，$Rt\triangle B'OC'$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}$，故图中$B'C'$左边空白图形的面积为$S_{1}=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}$.
而$B'C'$右边三块空白图形的面积之和为$S_{2}=\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{3}×\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}$，
由此可得空白部分的总面积为$S = S_{1}+S_{2}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}$，
而半圆的面积为$\frac{\pi}{2}$，
所以图中阴影部分的面积为$\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$.

16. 已知 $\alpha = - 1090^{\circ}$.
(1) 把 $\alpha$ 写成 $\beta + k · 360^{\circ}(k \in \mathbf{Z}, 0^{\circ} \leq \beta ＜ 360^{\circ})$ 的形式，并指出它是第几象限角；
(2) 写出与角 $\alpha$ 终边相同的角 $\theta$ 构成的集合 $S$，并把 $S$ 中适合不等式 $- 360^{\circ} \leq \theta ＜ 360^{\circ}$ 的元素 $\theta$ 写出来.

答案： 16.解析:
(1)因为$\alpha=-1090^{\circ}=-4×360^{\circ}+350^{\circ}$，
又因为$270^{\circ}＜350^{\circ}＜360^{\circ}$，
所以角$\alpha$是第四象限角.
(2)因为角$\theta$与角$\alpha$的终边相同，
所以令$\theta = k·360^{\circ}+350^{\circ}$,$k\in\mathbf{Z}$，
即$S=\{\theta|\theta = k·360^{\circ}+350^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$，
当$k = - 1$或$k = 0$时满足题意，得到$\theta=-10^{\circ}$或$\theta = 350^{\circ}$.