《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

17. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} |\log_{2}x|, & 0 ＜ x \leq 4, \\ x^{2} - 12x + 34, & x ＞ 4, \end{cases} $ 若 $ a, b, c, d $ 互不相同，且 $ f(a) = f(b) = f(c) = f(d) $，求 $ abcd $ 的取值范围。

答案： 17. 解析:不妨设$a＜b＜c＜d$,则满足$\vert\log_{2}a\vert=\vert\log_{2}b\vert$,即$-\log_{2}a=\log_{2}b$,所以$ab = 1$.
$c,d$是一元二次方程$x^{2}-12x + 34 = k$,$k\in(0,2)$在区间$(4,+\infty)$上的两个不相等的根,则$cd = 34 - k$,所以$cd\in(32,34)$.
故$abcd$的取值范围是$(32,34)$.

18. 对于定义域为 $ D $ 的函数 $ y = f(x) $，若同时满足以下条件：① $ y = f(x) $ 在区间 $ D $ 上单调递增或单调递减；② 存在区间 $ [a, b] \subseteq D $，使 $ y = f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上的值域是 $ [a, b] $，那么我们把函数 $ y = f(x)(x \in D) $ 叫做“闭函数”。
(1) 判断函数 $ g(x) = 3^{x} - 3x $ 是不是“闭函数”？若是，请找出区间 $ [a, b] $；若不是，请说明理由；
(2) 若 $ h(x) = \ln(e^{2x} + m) $ 为“闭函数”，求实数 $ m $ 的取值范围($ e $ 为自然对数的底数)。

答案： 18. 解析:
(1)因为$g(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,且$g(-1)=\frac{10}{3}$,$g(0)=1$,$g(2)=3$满足$g(-1)＞g(0)$,$g(2)＞g(0)$,因此$g(x)$在定义域$\mathbf{R}$上不是单调递增或单调递减的,故$g(x)$不是“闭函数”.
(2)由复合函数单调性法则可知$h(x)=\ln(e^{2x}+m)$在定义域$D$上单调递增.
当$x\in[a,b]$时,$h(x)$的值域也为$[a,b]$,
则$\begin{cases}h(a)=\ln(e^{2a}+m)=a,\\h(b)=\ln(e^{2b}+m)=b,\end{cases}$即$\begin{cases}e^{2a}+m = e^{a},\\e^{2b}+m = e^{b},\end{cases}$
因此方程$e^{2x}+m = e^{x}$有两个不相等的实根,
令$t = e^{x}$,$t＞0$,则方程$t^{2}-t + m = 0$有两个不等的正根$t_{1},t_{2}$,
需要$\begin{cases}\Delta = (-1)^{2}-4m＞0,\\t_{1}+t_{2}=1＞0,\\t_{1}t_{2}=m＞0,\end{cases}$解得$0＜m＜\frac{1}{4}$,
因此实数$m$的取值范围是$(0,\frac{1}{4})$.