《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例6】计算下列各式$(a,b,m＞0)$。
(1)$(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})(2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})÷(-3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})$；
(2)$(\frac{64}{125})^{-\frac{1}{3}}-(2\frac{1}{4})^{0.5}+(0.027)^{\frac{2}{3}}$；
(3)$\frac{m + m^{-1} + 2}{m^{-\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}}}$。

答案：
(1)原式$=[(-6)×2÷(-3)]× a^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{5}{6}}=4ab^0=4a$。
(2)原式$=(\frac{125}{64})^{\frac{1}{3}}-(\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}}+(0.3)^{3×\frac{2}{3}}=\frac{5}{4}-\frac{3}{2}+0.09=-0.16$。
(3)原式$=\frac{(m^{\frac{1}{2}}+m^{-\frac{1}{2}})^2}{m^{\frac{1}{2}}+m^{-\frac{1}{2}}}=m^{\frac{1}{2}}+m^{-\frac{1}{2}}$。

变式 (1)化简：$\frac{5x^{-\frac{5}{3}}y^{\frac{1}{3}}}{(-\frac{1}{3}x^{-2}y^{\frac{1}{3}})(-\frac{5}{6}x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{6}})}$；
(2)化简：$(\frac{1}{16})^{-\frac{1}{4}}×(-\frac{7}{5})^0 + 4^{0.375}×\sqrt[4]{2}+(\sqrt[3]{2}×\sqrt{3})^6$；
(3)已知$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 4$，求$\frac{x^2 + 1}{x}$的值。

答案：
(1) 原式$=5×(-3)×(-6/5)×x^[(-5/3)-(-2)-1/3]×y^[1/3 -1/3 -(-1/6)]=18x^0y^(1/6)=18y^(1/6)$
(2) 原式$=16^(1/4)×1 + (2^2)^(3/8)×2^(1/4) + (2^(1/3)×3^(1/2))^6=2 + 2^(3/4 +1/4) + 2^2×3^3=2 + 2 + 108=112$
(3) 由x^(1/2)+x^(-1/2)=4，两边平方得x + 2x^(1/2)x^(-1/2) + x^(-1)=16，即x + x^(-1) + 2=16，故x + x^(-1)=14，所以(x²+1)/x=x + x^(-1)=14

【例7】已知$a＞0$，$b＞0$，且$a^b = b^a$，$b = 8a$，求$a$的值。

答案： 已知$a＞0$，$b＞0$，且$a^b = b^a$，$b = 8a$。
因为$a^b = b^a$，$b = 8a$，所以$a^{8a}=(8a)^a$。
由于$a＞0$，等式两边同时除以$a^a$（$a^a≠0$），可得$(a^8)^a=(8a)^a÷ a^a$，即$a^8 = 8$。
则$a^7 = 8$，所以$a = \sqrt[7]{8}$。
$\sqrt[7]{8}$可化简为$2^{\frac{3}{7}}$，但题目未要求化简形式，故$a = \sqrt[7]{8}$。
答案：$a = \sqrt[7]{8}$

变式 已知$67^x = 27$，$603^y = 81$，求$\frac{3}{x}-\frac{4}{y}$的值。

答案： $-2$