《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 函数 $ f(x)=\ln x+x - 2 $ 的零点所在的一个区间是(B)

A.$ (0,1) $
B.$ (1,2) $
C.$ (2,3) $
D.$ (3,4) $

答案： 1. 解析:因为$ f(1)＜0,f(2)＞0,f(1)· f(2)＜0 $,所以零点在区间$ (1,2) $.故选B.

2. 已知 $ a=\log_{\frac{1}{2}}5 $，$ b=(\frac{1}{4})^{0.3} $，$ c=2^{\frac{1}{2}} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系是(A)

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ b ＜ a $
C.$ c ＜ a ＜ b $
D.$ b ＜ a ＜ c $

答案： 2. 解析:因为$ a=\log_{\frac{1}{2}}5＜0,b=\left( \frac{1}{4}\right)^{0.3}＜1,c=2^{\frac{1}{3}}＞1 $,所以$ a＜ b＜ c $.故选A.

3. 若 $ \frac{1}{2}＜(\frac{1}{2})^{a}＜(\frac{1}{2})^{b}＜1(a,b\in\mathbf{R}) $，则(B)

A.$ a^{a}＜a^{b}＜b^{a} $
B.$ b^{a}＜a^{a}＜a^{b} $
C.$ a^{b}＜a^{a}＜b^{a} $
D.$ b^{a}＜a^{b}＜a^{a} $

答案： 3. 解析:若$ \frac{1}{2}＜\left( \frac{1}{2}\right)^{a}＜\left( \frac{1}{2}\right)^{b}＜1=\left( \frac{1}{2}\right)^{0}(a,b\in\mathbf{R}) $,所以$ 0＜ b＜ a＜1 $,结合指数函数和幂函数的单调性可得$ a^{b}＞a^{a}＞b^{a} $.故选B.

4. 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}2^{-x},x\leq0,\\\ln\frac{1}{x},x＞0,\end{cases}g(x)=f(x)-x - a $。若 $ g(x) $ 有 2 个零点，则实数 $ a $ 的取值范围是( )

A.$ [-1,0) $
B.$ [0,+\infty) $
C.$ [-1,+\infty) $
D.$ [1,+\infty) $

答案：
4. 解析:函数$ f(x)=\begin{cases}\left( \frac{1}{2}\right)^{x},x\leqslant0,\\-\ln x,x＞0.\end{cases} $
令$ g(x)=f(x)-x-a=0 $,得$ f(x)=x+a $.
在同一坐标系内画出函数$ y = f(x) $和$ y = x + a $的图象,如图所示;

根据图象知,若$ g(x) $有2个零点,则实数$ a $的取值范围是$ a\geqslant1 $.故选D.

5. 设 $ x,y,z $ 均为正数，且 $ 2^{x}=3^{y}=6^{z} $，则(D)

A.$ 2x ＜ 3y ＜ 6z $
B.$ 6z ＜ 2x ＜ 3y $
C.$ 3y ＜ 6z ＜ 2x $
D.$ 3y ＜ 2x ＜ 6z $

答案： 5. 解析:$ x,y,z $均为正数,令$ 2^{x}=3^{y}=6^{z}=k＞1 $,则$ x=\log_{2}k=\frac{\lg k}{\lg2},y=\log_{3}k=\frac{\lg k}{\lg3},z=\log_{6}k=\frac{\lg k}{\lg6} $,
因为$ 2x - 3y=\frac{2\lg k}{\lg2}-\frac{3\lg k}{\lg3}=\frac{\lg k(\lg9-\lg8)}{\lg2·\lg3}＞0 $,所以$ 2x＞3y $.
又$ 2x - 6z=\frac{2\lg k}{\lg2}-6\frac{\lg k}{\lg6}=\frac{\lg k(\lg36-\lg64)}{\lg2·\lg6}＜0 $,
综上,$ 6z＞2x＞3y $.故选D.

6. 已知正数 $ a,b $ 满足 $ 1+\log_{2}a=2+\log_{3}b=3+\log_{6}(a + b) $，则 $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}= $(A)

A.$ \frac{1}{12} $
B.$ \frac{1}{6} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 6. 解析:令$ \log_{2}a = x,\log_{3}b = y,\log_{6}(a + b)=z $,
则$ a = 2^{x},b = 3^{y},a + b = 6^{z} $.
又$ 1 + x = 2 + y = 3 + z $,所以$ z = x - 2,z = y - 1 $.
注意到$ 6^{z}=2^{z}·3^{z}=2^{x - 2}·3^{y - 1}=\frac{2^{x}·3^{y}}{12} $,
所以$ a + b=\frac{ab}{12} $,即$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{12} $.故选A.

7. 函数 $ f(x)=e^{|\ln|x||} $ 的大致图象是(C)

答案： 7. 解析:因为$ f(x) $为偶函数,排除选项A,D,
当$ x＞1 $时,$ f(x)=x $.故选C.

8. 定义 $ M_{1} $ 是函数 $ f(x)=e^{x}-e $ 的零点，$ M_{2}=\log_{4}27·\log_{81}25·\log_{625}8 $，$ M_{3}=\left|\frac{1}{2}\sin x^{2}\right|(x\neq0) $，则有(C)

A.$ M_{2}＜M_{1}＜M_{3} $
B.$ M_{1}＜M_{2}＜M_{3} $
C.$ M_{3}＜M_{2}＜M_{1} $
D.$ M_{2}＜M_{3}＜M_{1} $

答案： 8. 解析:因为$ M_{1} $是函数$ f(x)=e^{x}-e $的零点,
所以$ M_{1}=1 $.
$ M_{2}=\log_{4}27·\log_{81}25·\log_{625}8=\frac{3}{2}×\frac{\lg3}{\lg2}×\frac{2}{4}×\frac{\lg5}{\lg3}×\frac{3}{4}×\frac{\lg2}{\lg5}=\frac{9}{16} $,
$ M_{3}=\left\lvert \frac{1}{2}\sin x^{2}\right\rvert\leqslant\frac{1}{2} $,
即$ M_{3}＜M_{2}＜M_{1} $.故选C.