《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

7. 有外表相同，质量不同的 4 个小球，它们的质量分别为 $ a,b,c,d $，且满足 $ a + b = c + d,a + d ＞ b + c,b ＞ a + c $，则这 4 个小球由重到轻的顺序为(A)

A.$ d ＞ b ＞ a ＞ c $
B.$ b ＞ c ＞ d ＞ a $
C.$ d ＞ b ＞ c ＞ a $
D.$ c ＞ a ＞ d ＞ b $

答案： 7. 解析:由于$ a + b = c + d $，$ a + d ＞ b + c $，则$ a + d + (a + b) ＞ b + c + (c + d) $，所以$ a ＞ c $，$ b ＜ d $。又$ b ＞ a + c $，则$ a ＜ b $。综上，$ d ＞ b ＞ a ＞ c $。故选 A。

8. 若实数 $ \alpha,\beta $ 满足 $ -\frac{1}{2}＜\alpha＜\beta＜-\frac{1}{3} $，则 $ \alpha - \beta $ 的取值范围为(D)

A.$ -\frac{1}{2}＜\alpha - \beta＜-\frac{1}{3} $
B.$ -\frac{5}{6}＜\alpha - \beta＜0 $
C.$ -\frac{1}{2}＜\alpha - \beta＜\frac{1}{3} $
D.$ -\frac{1}{6}＜\alpha - \beta＜0 $

答案： 8. 解析:由于$ -\frac{1}{2} ＜ \alpha ＜ \beta ＜ -\frac{1}{3} $，则$ \alpha - \beta ＜ 0 $，$ \alpha - \beta ＞ -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} $，则$ -\frac{1}{6} ＜ \alpha - \beta ＜ 0 $。故选 D。

9. 下列命题中正确的是(AD)

A.$ \exists a,b\in\mathbf{R},|a - 2| + (b + 1)^2\leqslant 0 $
B.$ \forall a\in\mathbf{R},\exists x\in\mathbf{R} $，使得 $ ax ＞ 2 $
C.$ ab\neq 0 $ 是 $ a^2 + b^2\neq 0 $ 的充要条件
D.若 $ a\geqslant b ＞ 0 $，则 $ \frac{a}{1 + a}\geqslant\frac{b}{1 + b} $

答案： 9. 解析:
对于选项 A，当$ a = 2 $，$ b = -1 $时，$ |a - 2| + (b + 1)^2 \leq 0 $，故 A 正确。
对于选项 B，当$ a = 0 $时，$ ax ＞ 2 $不成立，故 B 错误。
对于选项 C，当$ ab \neq 0 $时，$ a^2 + b^2 \neq 0 $成立；当$ a^2 + b^2 \neq 0 $时，如$ a = 1 $，$ b = 0 $，此时$ ab = 0 $，故$ ab \neq 0 $不成立，也即“$ ab \neq 0 $”是“$ a^2 + b^2 \neq 0 $”的充分不必要条件，故 C 错误。
对于选项 D，当$ a \geq b ＞ 0 $时，$ \frac{a}{1 + a} \geq \frac{b}{1 + b} $等价于$ a + ab \geq b + ab $，显然成立，所以 D 正确。故选 AD。

10. 设 $ a,b $ 为正实数，下列命题中正确的是(AD)

A.若 $ a^2 - b^2 = 1 $，则 $ a - b ＜ 1 $
B.若 $ \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = 1 $，则 $ a - b ＜ 1 $
C.若 $ |\sqrt{a} - \sqrt{b}| = 1 $，则 $ |a - b| ＜ 1 $
D.若 $ |a|\leqslant 1,|b|\leqslant 1 $，则 $ |a - b|\leqslant|1 - ab| $

答案： 10. 解析:
对于选项 A，若$ a,b $为正实数，$ (a + b)(a - b) = 1 $，则$ a - b ＞ 0 $，即$ a ＞ b ＞ 0 $。由于$ a + b ＞ a - b $，则$ a + b ＞ 1 ＞ a - b ＞ 0 $，故 A 正确。
对于选项 B，取$ a = 5 $，$ b = \frac{5}{6} $，则$ \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = 1 $，但$ a - b = 5 - \frac{5}{6} ＞ 1 $，所以 B 错误。
对于选项 C，取$ a = 4 $，$ b = 1 $，则$ |\sqrt{a} - \sqrt{b}| = 1 $，但$ |a - b| = 3 ＜ 1 $不成立，所以 C 错误。
对于选项 D，$ (a - b)^2 - (1 - ab)^2 = a^2 + b^2 - 1 - a^2b^2 = (a^2 - 1)(1 - b^2) \leq 0 $，即$ |a - b| \leq |1 - ab| $，所以 D 正确。故选 AD。

11. 若实数 $ x,y,z $ 满足 $ 2y = x + z(x\neq y\neq z) $，则下列不等式中正确的是(ABC)

A.$ |y - x + \frac{1}{z - y}|\geqslant 2 $
B.$ x^3y + y^3z + z^3x ＜ x^4 + y^4 + z^4 $
C.$ y^2 ＞ xz $
D.$ xy + yz + zx\geqslant x^2 + y^2 + z^2 $

答案： 11. 解析:由于$ 2y = x + z (x \neq y \neq z) $，可设$ y - x = z - y = k $，则$ z - x = 2k $，$ k \neq 0 $。
对于选项 A，$ \left| y - x + \frac{1}{z - y} \right| = \left| k + \frac{1}{k} \right| = |k| + \frac{1}{|k|} = \left( \sqrt{|k|} - \frac{1}{\sqrt{|k|}} \right)^2 + 2 \geq 2 $，当且仅当$ k = \pm 1 $等号成立，所以 A 正确。
对于选项 B，$ x^3y + y^3z + z^3x - (x^4 + y^4 + z^4) = x^3(y - x) + y^3(z - y) + z^3(x - z) = k(x^3 + y^3 - 2z^3) = k(x^3 - z^3 + y^3 - z^3) = k[(x - z)(x^2 + xz + z^2) + (y - z)(y^2 + yz + z^2)] = -k^2\left[ 2\left( x + \frac{1}{2}z \right)^2 + \left( y + \frac{1}{2}z \right)^2 + \frac{9}{4}z^2 \right] ＜ 0 $，所以 B 正确。
对于选项 C，$ y^2 - xz = \left( \frac{x + z}{2} \right)^2 - xz = \frac{(x - z)^2}{4} ＞ 0 $，所以 C 正确。
对于选项 D，$ x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx) = \frac{1}{2}[(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2] ＞ 0 $，即$ xy + yz + zx ＜ x^2 + y^2 + z^2 $，故 D 错误。故选 ABC。

12. 已知 $ b $ 克糖水中有 $ a $ 克糖$(b ＞ a ＞ 0)$。若再添上 $ m $ 克糖$(m ＞ 0)$，则糖水就变甜了。试根据此事实提炼一个不等式：当 $ b ＞ a ＞ 0 $ 且 $ m ＞ 0 $ 时，$\frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$。

答案： 12. 解析:糖水变甜了，意味着含糖量变大了，即浓度变高了，所以当$ b ＞ a ＞ 0 $且$ m ＞ 0 $时，$ \frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b} $。

13. 已知 $ -1 ＜ a + b ＜ 5,-4 ＜ a - b ＜ 2 $，则 $ 2a - 4b $ 的取值范围为$-17 ＜ 2a - 4b ＜ 7$。

答案： 13. 解析:由于$ 2a - 4b = - (a + b) + 3(a - b) $，则$ -17 ＜ 2a - 4b ＜ 7 $。

14. 如图，$ y = f(x) $ 反映了某公司产品的销售收入 $ y $(万元)与销售量 $ x $(吨)的函数关系，$ y = g(x) $ 反映了该公司产品的销售成本 $ y $(万元)与销售量 $ x $(吨)的函数关系，试问：
(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)?
(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)?

答案： 14. 解析:
(1)销售量大于$ a $吨，即$ x ＞ a $时，公司赢利，即$ f(x) ＞ g(x) $。
(2)当销售量小于$ a $吨，即$ 0 \leq x ＜ a $时，公司亏损，即$ f(x) ＜ g(x) $。