《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

10. 下列命题中错误的是(ACD)

A.∅与{0}表示同一集合
B.由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C.方程(x - 1)²(x - 2) = 0的所有解的集合可表示为{1，1，2}
D.集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示

答案： 10. 解析：对于选项$ A $，$ \varnothing $没有元素，$ \{0\} $表示“$ 0 $”这一个元素，故它们不是同一集合，故$ A $错误。 对于选项$ B $，由$ 1, 2, 3 $组成的集合可表示为$ \{1, 2, 3\} $或$ \{3, 2, 1\} $，故$ B $正确。 对于选项$ C $，方程$ (x - 1)^2(x - 2) = 0 $的解为$ x = 1 $或$ x = 2 $，可表示为$ \{1, 2\} $，故$ C $错误。 对于选项$ D $，集合$ \{x | 2 ＜ x ＜ 5\} $不可以用列举法表示，故$ D $错误。 故选$ ACD $。

11. 群论是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明。群的概念是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对所有的a，b∈G，有a·b∈G；
②∀a，b，c∈G，有(a·b)·c = a·(b·c)；
③∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a = a·e = a，e称为单位元；
④∀a∈G，∃b∈G，使得a·b = b·a = e，称a与b互为逆元；
则称G关于“·”构成一个群。
下列说法中正确的有(AD)

A.G = {-1，1}关于数的乘法构成群
B.自然数集N关于数的加法构成群
C.实数集R关于数的乘法构成群
D.G = {a + √2b|a，b∈Z}关于数的加法构成群

答案： 11. 解析：对于选项$ A $，对所有的$ a, b \in G $，有$ a · b \in G $， ①$ G $满足乘法结合律； ②$ \exists e = 1 \in G $，使得$ \forall a \in G $，有$ 1 · a = a · 1 = a $； ③$ \forall a \in G $，$ \exists a \in G $，有$ a · a = a · a = 1 $，故$ A $正确。 对于选项$ B $，①自然数满足加法结合律； ②$ \exists e = 0 \in \mathbf{N} $，使得$ \forall a \in \mathbf{N} $，有$ 0 + a = a + 0 = a $； 但是对于$ 0 \in \mathbf{N} $，$ 1 \in \mathbf{N} $，不存在$ b \in \mathbf{N} $，使得$ 1 + b = b + 1 = 0 $，故$ B $错误。 对于选项$ C $，对所有的$ a, b \in \mathbf{R} $，有$ a · b \in \mathbf{R} $， ①实数满足加法结合律； ②$ \exists e = 1 \in \mathbf{R} $，使得$ \forall a \in \mathbf{R} $，有$ 1 · a = a · 1 = a $； 但对于$ 1 \in \mathbf{R} $，$ 0 \in \mathbf{R} $，不存在$ b \in \mathbf{R} $，使得$ 0 · b = b · 0 = 1 $，故$ C $错误。 对于选项$ D $，对所有的$ a, b \in G $，可设$ a = x + \sqrt{2}y $，$ b = s + \sqrt{2}t (x, y, s, t \in \mathbf{Z}) $，则$ a + b = (x + s) + \sqrt{2}(y + t) \in G $， ①$ G $满足加法结合律，即$ \forall a, b, c \in G $，有$ (a + b) + c = a + (b + c) $； ②$ \exists e = 0 \in G $，使得$ \forall a \in G $，有$ e + a = a + e = a $； ③$ \forall a \in G $，设$ a = x + \sqrt{2}y $，$ x, y \in \mathbf{Z} $，$ \exists b = -x - \sqrt{2}y \in G $，使得$ a + b = b + a = e $，故$ D $正确。 故选$ AD $。

12. 用列举法表示集合M = {m|12/(m + 1)∈N，m∈Z} ={0, 1, 2, 3, 5, 11}。

答案： 12. 解析：因为$ \frac{12}{m + 1} \in \mathbf{N} $，$ m \in \mathbf{Z} $，所以$ M = \{0, 1, 2, 3, 5, 11\} $。

13. 若集合A = {x|ax² - ax + 1 = 0} = ∅，则实数a的取值范围是0 ≤ a ＜ 4。

答案： 13. 解析：由题意知，$ \Delta = a^2 - 4a ＜ 0 $或$ a = 0 $，解得$ 0 \leq a ＜ 4 $。即实数$ a $的取值范围是$ 0 \leq a ＜ 4 $。

14. 由实数t，|t|，t²，-t，t³所构成的集合M中最多含有4个元素。

答案： 14. 解析：因为$ |t| = t $或$ |t| = -t $，故集合$ M $中最多有$ 4 $个元素。

15. 已知M是同时满足下列条件的集合：
①0∈M，1∈M；
②若x，y∈M，则x - y∈M；
③若x∈M且x≠0，则1/x∈M。
下列结论中正确的是(1)(3)(4)。
(1)1/3∈M；
(2)-1∉M；
(3)若x，y∈M，则x + y∈M；
(4)若x，y∈M，则xy∈M。

答案： 15. 解析：因为$ 0 \in M $，$ 1 \in M $，所以$ 0 - 1 = -1 \in M $， 故结论$ (2) $不成立。 因为$ 1 \in M $，$ -1 \in M $，所以$ 1 - (-1) = 2 \in M $， 所以$ 2 - (-1) = 3 \in M $，所以$ \frac{1}{3} \in M $， 故结论$ (1) $成立。 因为$ y \in M $，所以$ -y \in M $。 又因为$ x \in M $，所以$ x - (-y) = x + y = M $， 故结论$ (3) $成立。 因为$ x \in M $，所以$ x - 1 \in M $， 所以$ \frac{1}{x} \in M $，$ \frac{1}{x - 1} \in M $， 所以$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \in M $，$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{x - x^2} \in M $， 所以$ \frac{x}{2} \in M $，$ x - x^2 \in M $，所以$ x^2 \in M $， 所以$ \frac{x^2}{2} \in M $，同理$ \frac{y^2}{2} \in M $， 所以$ \frac{(x + y)^2}{2} \in M $，$ \frac{x^2 + y^2}{2} \in M $， 所以$ \frac{(x + y)^2}{2} - \frac{x^2 + y^2}{2} = xy \in M $， 当$ x = 0 $时，$ xy = 0 $符合，当$ x = 1 $时，$ xy = y $也符合，故结论$ (4) $成立。 故答案为$ (1)(3)(4) $。

16. 用适当的方法表示下列集合：
(1)满足不等式0＜2x＜18的素数组成的集合；
(2)被3除余1的正整数组成的集合；
(3)一次函数y = 2x - 3图象上所有的点的集合；
(4)到两坐标轴距离相等的点组成的集合。

答案： 16. 解析：
(1)$ \{2, 3, 5, 7\} $；
(2)$ \{m | m = 3k + 1, k \in \mathbf{N}\} $；
(3)$ \{(x, y) | y = 2x - 3\} $；
(4)$ \{(x, y) | x \pm y = 0\} $。