《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

16. 若存在 1 ≤ x₀ ≤ 3，|x₀² - ax₀ + 4| ≤ 3x₀，求实数 a 的取值范围.

答案： 16. 解析:存在1 ≤ x₀ ≤ 3， -3x₀ ≤ x₀² - ax₀ + 4 ≤ 3x₀，
所以$\begin{cases} a - 3 \leq x_0 + \frac{4}{x_0}, \\ a + 3 \geq x_0 + \frac{4}{x_0}, \end{cases}$
即$\begin{cases} a - 3 \leq \left( x_0 + \frac{4}{x_0} \right)_{\max}, \\ a + 3 \geq \left( x_0 + \frac{4}{x_0} \right)_{\min}, \end{cases}$解得$\begin{cases} a - 3 \leq 5, \\ a + 3 \geq 4. \end{cases}$
所以实数a的取值范围是1 ≤ a ≤ 8。

17. 若“存在$\frac{1}{2}$ ≤ x ≤ 2，使得 2x² - λ + 1 ＜ 0 成立”是假命题，求实数 λ 的取值范围.

答案： 17. 解析:若“存在$\frac{1}{2} \leq x \leq 2$，使得2x² - λ + 1 ＜ 0成立”是假命题，
即“对任意的$\frac{1}{2} \leq x \leq 2$，2x² - λ + 1 ≥ 0恒成立”是真命题，故只需λ ≤ (2x² + 1)min，
函数y = 2x² + 1 ≥ $\frac{3}{2}$，
所以实数λ的取值范围为λ ≤ $\frac{3}{2}$。

1. 若存在实数 t，对任意的 0 ≤ x ≤ s，不等式(2x - x² - t)(1 - t - x) ≤ 0 恒成立，则 s 的值可以是(ABC)

A.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$
C.$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

答案：
1. 解析:存在实数t，对任意的0 ≤ x ≤ s，不等式(2x - x² - t)(1 - t - x) ≤ 0恒成立；
等价于(t + x² - 2x)(t + x - 1) ≤ 0恒成立。
问题转化为:存在实数t，使得0 ≤ t ≤ s，函数y = (x - 1)²与函数y = x的图象恒在直线y = 1 - t的两侧，
如图，在同一坐标系内画出函数y = (x - 1)²与函数y = x的图象，

由$\begin{cases} y = x, \\ y = (x - 1)^2 \end{cases}$解得$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$或$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$(舍去)，
所以$t = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
由抛物线的对称性知y = 1 - t与y = (x - 1)²图象右边交点的横坐标为$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$。
故$0 ＜ x \leq \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$时，函数y = (x - 1)²与函数y = x的图象恒在直线y = 1 - t的两侧，
所以实数s的取值范围为$(0, \frac{\sqrt{5} + 1}{2}]$，故选ABC。

2. 已知函数 y = $\frac{2x - 1}{x + 1}$，x∈(0，2).
(1) 求 y 的取值范围；
(2) 已知对任意 m，n，m ≥ 2n ＞ 0，x∈(0，2)，不等式(m² - 2amn + 4n² - 2an²)·(x + 1) ＞ n²(2x - 1)恒成立，求实数 a 的取值范围.

答案： 2. 解析:
(1)函数$y = \frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{2x + 2 - 3}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}$，
当0 ＜ x ＜ 2时，1 ＜ x + 1 ＜ 3，
所以$\frac{1}{3} ＜ \frac{1}{x + 1} ＜ 1$，所以 -3 ＜ -$\frac{3}{x + 1}$ ＜ -1，
所以 -1 ＜ 2 - $\frac{3}{x + 1}$ ＜ 1，
即y的取值范围为 -1 ＜ y ＜ 1。
(2)由题意可得$\frac{m^2 - 2amn + 4n^2 - 2an^2}{n^2} ＞ \frac{2x - 1}{x + 1}$。
又$f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} ＜ 1$，
所以$\frac{m^2 - 2amn + 4n^2 - 2an^2}{n^2} \geq 1$，
即$(\frac{m}{n})^2 - 2a · \frac{m}{n} + 4 - 2a \geq 1$。
又m ≥ 2n ＞ 0，所以$\frac{m}{n} \geq 2$。令$t = \frac{m}{n}$，t ≥ 2，
则$g(t) = t^2 - 2at + 4 - 2a \geq 1$，t ≥ 2。
当t ≥ a，即a ≤ 2时，g(t)在t ≥ 2上是增函数，所以4 - 4a + 4 - 2a ≥ 1，解得$a \leq \frac{7}{6}$；
当t ＜ a，即a ＞ 2时，g(t)在t ≥ 2上先减后增，则$a^2 - 2a^2 + 4 - 2a \geq 1$，解得 -3 ≤ a ≤ 1，此时不满足题意；
综上知，实数a的取值范围是$a \leq \frac{7}{6}$。