《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

19. 对于一个非空集合，如果集合满足如下四个条件：
①D⊆{(a，b)|a∈A，b∈A}；
②∀a∈A，(a，a)∈D；
③∀a，b∈A，若(a，b)∈D且(b，a)∈D，则a = b；
④∀a，b，c∈A，若(a，b)∈D且(b，c)∈D，则(a，c)∈D，
则称集合D为集合A的一个“偏序关系”。
（1）设A = {1，2，3}，试判断集合D = {(1，1)，(1，2)，(2，2)，(2，3)，(3，3)}是不是集合A的“偏序关系”，请你写出一个含有4个元素且是集合A的“偏序关系”的集合D；
（2）证明：R_≤ = {(a，b)|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个“偏序关系”：
（3）设E为集合A的一个“偏序关系”，a，b∈A。若存在c∈A，使得(c，a)∈E，(c，b)∈E，且∀d∈A，若(d，a)∈E，(d，b)∈E，一定有(d，c)∈E，则称c是a和b的交，记为c = a∧b。证明：对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一。

答案： 19. 解析：
(1)集合$ D $满足①②③，但不满足④。 若集合$ D $是集合$ A $的“偏序关系”，则由$ (1, 2) \in D $，$ (2, 3) \in D $可知$ (1, 3) \in D $，而由条件可知$ (1, 3) \notin D $，所以不满足④。 因为集合$ D $不是集合$ A $的“偏序关系”，故$ D = \{(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)\} $（开放性）。
(2)$ \mathbf{R}_{\leq} = \{(a, b) | a \in \mathbf{R}, b \in \mathbf{R}, a \leq b\} $，满足①②。 $ \forall (a, b) \in D \Rightarrow a \leq b $，且$ (b, a) \in D \Rightarrow b \leq a $，则$ a = b $，满足条件③。 $ \forall a, b, c \in \mathbf{R} $，若$ (a, b) \in \mathbf{R}_{\leq} $且$ (b, c) \in \mathbf{R}_{\leq} $，则$ a \leq b $，$ b \leq c $，所以$ a \leq c $，所以$ (a, c) \in \mathbf{R}_{\leq} $，满足条件④。 综上所述，$ \mathbf{R}_{\leq} = \{(a, b) | a \in \mathbf{R}, b \in \mathbf{R}, a \leq b\} $是实数集$ \mathbf{R} $的一个“偏序关系”。
(3)用反证法。假设对$ A $中的两个给定元素$ a, b $，且$ a \wedge b $存在，但不唯一。 设$ c_1 = a \wedge b $，$ c_2 = a \wedge b $，且$ c_1 \neq c_2 $，则$ (c_1, a) \in E $， $ (c_1, b) \in E $，$ (c_2, a) \in E $，$ (c_2, b) \in E $， 其中$ E $为集合$ A $的一个“偏序关系”，且$ \forall d \in A $， 若$ (d, a) \in E $，$ (d, b) \in E $，一定有$ (d, c_1) \in E $， 所以$ (c_2, c_1) \in E $，同理$ (c_1, c_2) \in E $， 则$ c_2 = c_1 $，与$ c_1 \neq c_2 $矛盾。 所以，对$ A $中的两个给定元素$ a, b $，若$ a \wedge b $存在，则一定唯一。

1. 设集合X是实数集R的子集，如果x₀∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x - x₀|＜a，那么称x₀为集合X的“聚点”。则下列集合：①{n/(n + 1)|n∈Z，n≥0}，②{x|x∈R，x≠0}，③{1/n|n∈Z，n≠0}，④整数集Z，其中以0为“聚点”的集合有(A)

A.②③
B.①④
C.①③
D.①②③

答案： 1. 解析：根据定义，“聚点”可理解为以任意无穷小为半径，以$ x_0 $为圆心的圆内都至少有集合$ X $的一个元素（不包括$ x_0 $）。 对于集合①，$ \{0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, ·s\} $，若取$ a = \frac{1}{3} $，则不存在$ x \in \{\frac{n}{n + 1} | n \in \mathbf{Z}, n \geq 0\} $，满足$ 0 ＜ |x - 0| ＜ \frac{1}{3} $。 显然集合②③是以$ 0 $为“聚点”的集合， 对于集合④，若令$ a = \frac{1}{2} $（不是唯一的取法，也可取$ \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, ·s $，只要$ a ＜ 1 $均可），则也不存在$ x \in X $，使得$ 0 ＜ |x - 0| ＜ a $。 故选$ A $。