《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 集合M = {(1，2)，(2，1)}中元素的个数是(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1. 解析：根据题意，集合$ M $中元素为$ (1,2) $和$ (2,1) $，共$ 2 $个元素，故选$ B $。

2. 下列元素与集合的关系表示正确的是(B)
① -1∈N；②√2∉Z；③3/2∈Q；④π∈Q

A.①②
B.②③
C.①③
D.③④

答案： 2. 解析：对于①，$ -1 $不是自然数，故$ -1 \notin \mathbf{N} $，故①错误。 对于②，$ \sqrt{2} $是无理数，不是整数，$ \mathbf{Z} $表示整数集合，所以$ \sqrt{2} \notin \mathbf{Z} $，故②正确。 对于③，$ \frac{3}{2} $是有理数，$ \mathbf{Q} $表示有理数集，所以$ \frac{3}{2} \in \mathbf{Q} $，故③正确。 对于④，$ \pi $是无理数，$ \mathbf{Q} $表示有理数集，所以$ \pi \notin \mathbf{Q} $，故④错误。 故选$ B $。

3. 若2∈{1，a² + 1，a + 1}，则a =(D)

A.2
B.1或 -1
C.1
D.-1

答案： 3. 解析：若$ 2 \in \{1, a^2 + 1, a + 1\} $，则$ a + 1 = 2 $或$ a^2 + 1 = 2 $，所以$ a = 1 $或$ a = -1 $， 当$ a = 1 $时，$ a^2 + 1 = a + 1 $，与元素互异性相矛盾，舍去； 当$ a = -1 $时，$ a + 1 = 0 $，$ a^2 + 1 = 2 $，符合题意， 所以$ a = -1 $。故选$ D $。

4. 由实数x，-x，|x|，√x²，(√x²)²，-³√x³所组成的集合中元素个数最多为(B)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 4. 解析：因为$ \sqrt{x^2} = |x| = \pm x $，$ (\sqrt{x^2})^2 = |x|^2 = x^2 $，$ -\sqrt[3]{x^3} = -x $，所以实数$ x, -x, |x|, \sqrt{x^2}, (\sqrt{x^2})^2, -\sqrt[3]{x^3} $所组成的集合中最多含有$ x, -x, x^2 $共三个元素。故选$ B $。

5. 已知集合A = {-2，-1，0，1，2，3}，B = {-2，-1，1}，则集合{x|x∈A且|x|∉B} =(D)

A.{0，2，3}
B.{0，3}
C.{-2，-1，0，1，2，3}
D.{-2，0，2，3}

答案： 5. 解析：由题意可知$ |x| = 0 $或$ 1 $或$ 2 $或$ 3 $，所以$ \{x | x \in A 且 |x| \notin B\} = \{-2, 0, 2, 3\} $。故选$ D $。

6. 已知集合A = {t|t = m² + n²，m∈N，n∈N}，且x∈A，y∈A，则下列结论中正确的是(C)

A.x + y∈A
B.x - y∈A
C.xy∈A
D.x/y∈A

答案： 6. 解析：对于选项$ A $，$ 1 \in A $，$ 2 \in A $，但$ 3 \notin A $，故$ A $不正确。 对于选项$ B $，$ 1 \in A $，$ 2 \in A $，但$ -1 \notin A $，故$ B $不正确。 对于选项$ C $，$ x = t_1^2 + s_1^2 $，$ y = t_2^2 + s_2^2 $。$ xy = (t_1^2 + s_1^2) · (t_2^2 + s_2^2) = (t_1t_2 + s_1s_2)^2 + (t_1s_2 - t_2s_1)^2 \in A $，故$ C $正确。 对于选项$ D $，$ 1 \in A $，$ 2 \in A $，但$ \frac{1}{2} \notin A $，故$ D $不正确。 故选$ C $。

7. 设所有被4除余数为k(k = 0，1，2，3)的整数组成的集合为A_k，即A_k = {x|x = 4n + k}，n∈Z，则下列结论中错误的是(B)

A.2020∈A₀
B.若a + b∈A₃，则a∈A₁，b∈A₂
C.-1∈A₃
D.若a∈A_k，b∈A_k，则a - b∈A₀

答案： 7. 解析：对于选项$ A $，$ 2020 ÷ 4 = 505 $，余数为$ 0 $，故$ A $正确。 对于选项$ B $，若$ a + b \in A_3 $，不妨取$ a = 0 $，$ b = 3 $，则此时$ a \notin A_1 $且$ b \notin A_2 $，故$ B $错误。 对于选项$ C $，$ -1 = 4 × (-1) + 3 $，故$ C $正确。 对于选项$ D $，因为$ a = 4n + k $，$ b = 4n' + k $，故$ a - b = 4(n - n') + 0 $，故$ D $正确。 故选$ B $。

8. 已知非空集合A⊆R，设集合S = {x + y|x∈A，y∈A且x≠y}，T = {x - y|x∈A，y∈A且x＞y}。分别用|A|，|S|，|T|表示集合A，S，T中元素的个数，则下列说法不正确的是(D)

A.若|A| = 4，则|S| + |T|≥8
B.若|A| = 4，则|S| + |T|≤12
C.若|A| = 5，则|S| + |T|可能为18
D.若|A| = 5，则|S| + |T|不可能为19

答案： 8. 解析：当$ |A| = 4 $时，分如下两种情况， ①不考虑重复情况时，$ |S| \leq \mathrm{C}_4^2 = 6 $，$ |T| \leq \mathrm{C}_4^2 = 6 $，所以$ |S| + |T| \leq 12 $。 ②考虑重复情况时，例如$ A = \{1, 2, 3, 4\} $，$ S = \{3, 4, 5, 6, 7\} $，$ T = \{1, 2, 3\} $，所以$ |S| + |T| \geq 8 $， 所以选项$ A $，$ B $正确。 当$ |A| = 5 $时，分如下两种情况。 ①不考虑重复情况时，$ |S| \leq \mathrm{C}_5^2 = 10 $，$ |T| \leq \mathrm{C}_5^2 = 10 $，所以$ |S| + |T| \leq 20 $。 ②考虑重复情况时，例如$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $，$ S = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} $，$ T = \{1, 2, 3, 4\} $，所以$ |S| + |T| \geq 11 $，所以选项$ C $正确，选项$ D $不正确。 故选$ D $。

9. 下列每组对象，能构成集合的是(BD)

A.中国各地最美的乡村
B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C.一切很大的数
D.清华大学2020年入学的全体学生

答案： 9. 解析：对于选项$ A $，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故$ A $错误。 对于选项$ C $，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故$ C $错误。 根据集合元素的确定性可知，选项$ B $，$ D $都能构成集合，故选$ BD $。