《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 1】(1)某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 $ x $ 不低于 95 分，文化课总分 $ y $ 高于 390 分，体育成绩 $ z $ 超过 50 分，用不等式组表示即为()
A.$\begin{cases}x\geqslant 95,\\ y\geqslant 390,\\ z\geqslant 50\end{cases}$
B.$\begin{cases}x\geqslant 95,\\ y＞390,\\ z＞50\end{cases}$
C.$\begin{cases}x\geqslant 95,\\ y＞390,\\ z\geqslant 50\end{cases}$
D.$\begin{cases}x＞95,\\ y\geqslant 390,\\ z＞50\end{cases}$

答案：
(1) B

(2)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过 1000 万元的资金购买单价分别为 40 万元、90 万元的 $ A $ 型汽车和 $ B $ 型汽车。根据需要，$ A $ 型汽车至少买 5 辆，$ B $ 型汽车至少买 6 辆，请写出满足上述所有不等关系的不等式(组)。

答案：
(2) 设购买 $ A $ 型汽车 $ x $ 辆，$ B $ 型汽车 $ y $ 辆，则不等式组为：
$\begin{cases}40x + 90y \leq 1000, \\x \geq 5, \\y \geq 6, \\x, y \in \mathbf{N}^*\end{cases}$

【例 2】(1)设 $ x\in\mathbf{R} $，比较 $ x^2 + 3 $ 与 $ 3x $ 的大小；
(2)设 $ x,y,z\in\mathbf{R} $，比较 $ 5x^2 + y^2 + z^2 $ 与 $ 2xy + 4x + 2z - 2 $ 的大小。

答案：
(1) $x^2 + 3 - 3x = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} ＞ 0$，故$x^2 + 3 ＞ 3x$。
(2) $5x^2 + y^2 + z^2 - (2xy + 4x + 2z - 2) = (2x - 1)^2 + (x - y)^2 + (z - 1)^2 \geq 0$，当且仅当$2x - 1 = 0$，$x - y = 0$，$z - 1 = 0$，即$x = y = \frac{1}{2}$，$z = 1$时取等号，故$5x^2 + y^2 + z^2 \geq 2xy + 4x + 2z - 2$。