《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例3】解下列关于$x$的不等式：
(1)$2x^{2}+ax + 2＞0$；
(2)$ax^{2}-(a + 1)x + 1＜0$。

答案：
(1)
不等式$2x^2 + ax + 2 ＞ 0$对应的方程$2x^2 + ax + 2 = 0$，判别式$\Delta = a^2 - 16$。
当$-4 ＜ a ＜ 4$时，$\Delta ＜ 0$，解集为$\mathbf{R}$；
当$a = -4$时，方程有重根$x = 1$，解集为$\{x|x \neq 1\}$；
当$a = 4$时，方程有重根$x = -1$，解集为$\{x|x \neq -1\}$；
当$a ＜ -4$或$a ＞ 4$时，方程两根为$x_1 = \frac{-a - \sqrt{a^2 - 16}}{4}$，$x_2 = \frac{-a + \sqrt{a^2 - 16}}{4}$，解集为$\{x|x ＜ x_1 或 x ＞ x_2\}$。
(2)
当$a = 0$时，不等式为$1 - x ＜ 0$，解集为$\{x|x ＞ 1\}$；
当$a \neq 0$时，不等式化为$a\left(x - \frac{1}{a}\right)(x - 1) ＜ 0$：
当$a ＜ 0$时，$\frac{1}{a} ＜ 1$，解集为$\{x|x ＜ \frac{1}{a} 或 x ＞ 1\}$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，$\frac{1}{a} ＞ 1$，解集为$\{x|1 ＜ x ＜ \frac{1}{a}\}$；
当$a = 1$时，不等式为$(x - 1)^2 ＜ 0$，解集为$\varnothing$；
当$a ＞ 1$时，$\frac{1}{a} ＜ 1$，解集为$\{x|\frac{1}{a} ＜ x ＜ 1\}$。

【例4】若不等式$ax^{2}+bx + c\geqslant0$的解集为$\{x|-\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant2\}$，则不等式$cx^{2}+bx + a＜0$的解集为。

答案： $\{x|-3 ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$