《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

7. 某公司一年购买某种货物 900 吨，现分次购买，若每次购买$x$吨，运费为 9 万元/次，一年的总储存费用为$4x$万元.要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法中正确的是(BD)

A.当$x = 10$时费用之和有最小值
B.当$x = 45$时费用之和有最小值
C.最小值为 850 万元
D.最小值为 360 万元

答案： 7. 解析:一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买$\frac{900}{x}$次，运费是9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，所以一年的总运费与总储存费用之和为$\frac{900}{x}× 9 + 4x$。
因为$\frac{900}{x}× 9 + 4x\geqslant 2\sqrt{\frac{8100}{x}× 4x}=2× 180 = 360$，当且仅当$\frac{8100}{x}=4x$，即x = 45时，等号成立，所以当x = 45时，一年的总运费与总储存费用之和最小为360万元，故选BD。

8. 某汽车运输公司购买了一批豪华客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润$y$与营运年数$x$($x\in\mathbf{N}$)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过7年.

答案： 8. 解析:设二次函数$y = a(x - 6)^{2}+11$，又图象过点$(4,7)$，所以a = - 1，即$y = -(x - 6)^{2}+11$。
由$y\geqslant 0$解得$6 - \sqrt{11}\leqslant x\leqslant 6 + \sqrt{11}$，所以有营运利润的时间为$2\sqrt{11}$年。
又$6＜2\sqrt{11}＜7$，所以有营运利润的时间不超过7年。

9. 我国在 2019 年利用“嫦娥四号”探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，我国发射了“嫦娥四号”中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日$L_2$点的轨道运行.$L_2$点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为$M_1$，月球质量为$M_2$，地月距离为$R$，$L_2$点到月球的距离为$r$，根据牛顿运动定律和万有引力定律，$r$满足$\frac{M_1}{(R + r)^2}+\frac{M_2}{r^2}=(R + r)\frac{M_1}{R^3}$.设$\alpha=\frac{r}{R}$，由于$\alpha$的值很小，因此在近似计算中$\frac{3\alpha^3 + 3\alpha^4 + \alpha^5}{(1 + \alpha)^2}\approx3\alpha^3$，则$r$的近似值为√[3]{M₂/(3M₁)}R.

答案： 9. 解析:由$\alpha=\frac{r}{R}$得$r = \alpha R$。
因为$\frac{M_{1}}{(R + r)^{2}}+\frac{M_{2}}{r^{2}}=(R + r)\frac{M_{1}}{R^{3}}$，所以$\frac{M_{1}}{R^{2}(1 + \alpha)^{2}}+\frac{M_{2}}{\alpha^{2}R^{2}}=(1 + \alpha)\frac{M_{1}}{R^{2}}$，即$\frac{M_{2}}{M_{1}}=\alpha^{2}\left[(1 + \alpha)-\frac{1}{(1 + \alpha)^{2}}\right]=\frac{\alpha^{5}+3\alpha^{4}+3\alpha^{3}}{(1 + \alpha)^{2}}\approx 3\alpha^{3}$，解得$\alpha=\sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3M_{1}}}$，所以$r = \alpha R=\sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3M_{1}}}R$。

10. 某水果超市从 12 月 15 日至 1 月 5 日(共计 22 天，12 月 15 日为第 1 天，12 月 16 日为第 2 天，…，1 月 5 日为第 22 天)，某种苹果的销售量$y$(千克)随时间$x$(天)变化的函数图象如图所示，则该超市在 12 月 20 日卖出了这种苹果21千克.

答案： 10. 解析:当$1\leqslant x\leqslant 10$时，设直线方程为$y = kx + b$，将点$(1,10)$，$(10,30)$代入直线方程解得$k=\frac{20}{9}$，$b=\frac{70}{9}$，故$y=\frac{20}{9}x+\frac{70}{9}$。
当$x = 6$时，$y=\frac{190}{9}\approx 21$。所以12月20日卖出苹果21千克。

11. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益$f(x)$与投资额$x$成正比，且投资 1 万元时的收益为$\frac{1}{8}$万元，投资股票等风险型产品的收益$g(x)$与投资额$x$的算术平方根成正比，且投资 1 万元时的收益为 0.5 万元，
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
(2)该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

答案： 11. 解析:
(1)依题意设$f(x)=k_{1}x$，$g(x)=k_{2}\sqrt{x}$，则$f(1)=k_{1}=\frac{1}{8}$，$g(1)=k_{2}=\frac{1}{2}$，所以$f(x)=\frac{1}{8}x$，$g(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}(x\geqslant 0)$。
(2)设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为$20 - x$万元，$y = f(20 - x)+g(x)=\frac{1}{8}(20 - x)+\frac{1}{2}\sqrt{x}=-\frac{1}{8}(\sqrt{x}-2)^{2}+3$。
因为$0\leqslant x\leqslant 20$，当$\sqrt{x}=2$，即x = 4万元时，收益最大$y_{max} = 3$万元，故应投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元。