《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

17. 已知集合A = {x∈R|ax² - 3x - 4 = 0}。
（1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围。

答案： 17. 解析：
(1)因为集合$ A $中有两个元素，所以关于$ x $的方程$ ax^2 - 3x - 4 = 0 $有两个不等的实数根， 所以$ \Delta = 9 + 16a ＞ 0 $，且$ a \neq 0 $， 所以$ a $的取值范围是$ \{a | a ＞ -\frac{9}{16} 且 a \neq 0\} $。
(2)当$ a = 0 $时，方程为$ -3x - 4 = 0 $，所以集合$ A = \{-\frac{4}{3}\} $； 当$ a \neq 0 $时，若关于$ x $的方程$ ax^2 - 3x - 4 = 0 $有两个相等的实数根，则集合$ A $中只有一个元素， 此时$ a = -\frac{9}{16} $； 若关于$ x $的方程$ ax^2 - 3x - 4 = 0 $没有实数根，则集合$ A $中没有元素，此时$ a ＜ -\frac{9}{16} $， 所以$ a $的取值范围是$ \{a | a \leq -\frac{9}{16} 或 a = 0\} $。

18. 设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则1/(1 - x)∈A。
（1）若2∈A，试证明集合A中还有另外两个元素；
（2）集合A是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若集合A中元素个数不超过8个，所有元素的和为14/3，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A。

答案： 18. 解析：
(1)因为$ 2 \in A $，所以$ \frac{1}{1 - 2} = -1 \in A $， $ \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2} \in A $，$ \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \in A $， 所以集合$ A $中还有另外两个元素$ -1, \frac{1}{2} $。
(2)因为$ x \in A $，$ \frac{1}{1 - x} \in A $，所以$ \frac{x - 1}{x} \in A $， 因为$ x \neq \frac{1}{1 - x} $，$ \frac{1}{1 - x} \neq \frac{x - 1}{x} $，$ x \neq \frac{x - 1}{x} $， 故集合$ A $中至少有$ 3 $个元素，所以集合$ A $不是双元素集合。
(3)因为$ x \in A $，$ \frac{1}{1 - x} \in A $，$ \frac{x - 1}{x} \in A $，$ (x \neq \frac{1}{1 - x} $， $ \frac{1}{1 - x} \neq \frac{x - 1}{x} $，$ x \neq \frac{x - 1}{x}) $ 所以集合$ A $中元素个数为$ 3 $的倍数，所有元素的积为$ x · \frac{1}{1 - x} · \frac{x - 1}{x} = -1 $。 因为集合$ A $中有一个元素的平方等于所有元素的积，所以集合$ A $中元素个数不可能为$ 3 $个， 所以集合$ A $中元素个数为$ 6 $个，设为$ x, \frac{1}{1 - x} $， $ \frac{x - 1}{x}, m, \frac{1}{1 - m}, \frac{m - 1}{m} $，则所有数的乘积为$ 1 $。 若$ x^2 = 1 $，则$ x = -1 $；若$ (\frac{1}{1 - x})^2 = 1 $，则$ x = 2 $； 若$ (\frac{x - 1}{x})^2 = 1 $，则$ x = \frac{1}{2} $； 故集合$ A $中必有元素$ -1, \frac{1}{2}, 2 $， 所以$ \frac{1}{2} + 2 - 1 + m + \frac{1}{1 - m} + \frac{m - 1}{m} = \frac{14}{3} $， 解得$ m = -\frac{1}{2} $或$ 3 $或$ \frac{2}{3} $， 所以$ A = \{\frac{1}{2}, 2, -1, -\frac{1}{2}, 3, \frac{2}{3}\} $。