《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例4】(1)设$a\gt0$，$b\gt0$，且不等式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{k}{a + b}\geq0$恒成立，则实数$k$的最小值为。
(2)不等式$9x+\frac{a^{2}}{x}\geq a + 1$(常数$a\gt0$)对一切正实数$x$成立，则实数$a$的取值范围为。

答案：
(1)$-4$；
(2)$\left[\frac{1}{5},+\infty\right)$

【例5】已知实数$a$，$b$满足$ab\gt0$，则$\frac{a}{a + b}-\frac{a}{a + 2b}$的最大值为()

A.$3 + 2\sqrt{2}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$3-2\sqrt{2}$

答案： D

变式 设正实数$x$，$y$，$z$满足$x^{2}-3xy+4y^{2}-z = 0$，则当$\frac{xy}{z}$

取

得最大值时，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}$的最大值为()

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： B