《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

变式 如图,四棱柱ABCD−A'B'C'D'
是一个无水游泳池，是由一个长方体切掉一
个三棱柱得到的.现在向游泳池内注水，如果
进水速度是均匀的(单位时间内注入的水量
不变),水面与AB的交点为M,则AM的高
度h随时间t变化的图象可能是 ()

答案： A

【例 4】已知函数$f(x)=\begin{cases}1+\dfrac{1}{x},x＞1, \\x^{2}+1,-1\leqslant x\leqslant1, \\2x+3,x＜-1.\end{cases}$
(1)求$f(f(-\dfrac{3}{2}))$；
(2)若$f(a)=1$，求$a$的值.

答案：
(1) 因为$-\frac{3}{2} ＜ -1$，所以$f(-\frac{3}{2}) = 2×(-\frac{3}{2}) + 3 = 0$。又因为$-1 \leq 0 ＜ 1$，所以$f(f(-\frac{3}{2})) = f(0) = 0^2 + 1 = 1$。
(2) 当$x ＞ 1$时，$f(x) = 1 + \frac{1}{x} ＞ 1$，无解；当$-1 \leq x ＜ 1$时，$f(x) = x^2 + 1 = 1$，解得$x = 0$；当$x ＜ -1$时，$f(x) = 2x + 3 ＜ 1$，无解。综上，$a = 0$。

[例5]某商场新购进了8台彩电，每台售价3000元，试求销售台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解析 (1)列表法如下.

(2)图象法如下.

（3）解析式为$y = 3000x(1\leqslant x\leqslant 8,x\in N^{*})$。

答案：
(1)列表法：
|x/台|1|2|3|4|5|6|7|8|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|y/元|3000|6000|9000|12000|15000|18000|21000|24000|
(2)图象法：在平面直角坐标系中，描出点(1,3000)，(2,6000)，(3,9000)，(4,12000)，(5,15000)，(6,18000)，(7,21000)，(8,24000)。
(3)解析法：y=3000x（1≤x≤8，x∈N*）