《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

7. 已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数，若方程 $ f[f(x)] = x $ 有且只有一个实数根，则 $ f(x) $ 可能是(D)

A.$ f(x) = |2x - 1| $
B.$ f(x) = |2x + 1| $
C.$ f(x) = x^2 + x + 1 $
D.$ f(x) = x^2 - x + 1 $

答案：
7. 解析:若$ f(x_{0})=x_{0} $，则$ f[f(x_{0})]=f(x_{0})=x_{0} $.对于选项A，由$ |2x - 1| = x $有两个实数根可知方程$ f(f(x))=x $至少有2个实数根，也可由图1或直接分段求解可得方程$ f[f(x)]=x $有4个实数根. 对于选项B，$ f[f(x)]=|2|2x + 1| + 1| $，由图2或直接分段求解可得方程$ f[f(x)]=x $没有实数根. 对于选项C，易知当$ x\leq0 $时，由于$ x^{2}+x + 1 ＞ 0 $，方程$ f[f(x)]=x $没有实数根，当$ x ＞ 0 $时，$ y = f(x) $单调递增，且$ x^{2}+x + 1 ＞ x $，则$ f[f(x)] = f(x^{2}+x + 1)＞f(x)＞x $，故方程$ f[f(x)]=x $没有实数根，综上，方程$ f[f(x)]=x $没有实数根.对于选项D，由$ f[f(x)]=x $可得$ (x - 1)^{2}·(x^{2}+1)=0 $，故方程$ f[f(x)]=x $有且只有一个实数根.故选D.

8. 若函数 $ f(x) $ 的图象在 $ \mathbf{R} $ 上连续不断，且满足 $ f(0) ＜ 0 $，$ f(1) ＞ 0 $，$ f(2) ＞ 0 $，则下列说法中错误的是(ABD)

A.$ f(x) $ 在区间 $ (0, 1) $ 上一定有零点，在区间 $ (1, 2) $ 上一定没有零点
B.$ f(x) $ 在区间 $ (0, 1) $ 上一定没有零点，在区间 $ (1, 2) $ 上一定有零点
C.$ f(x) $ 在区间 $ (0, 1) $ 上一定有零点，在区间 $ (1, 2) $ 上可能有零点
D.$ f(x) $ 在区间 $ (0, 1) $ 上可能有零点，在区间 $ (1, 2) $ 上一定有零点

答案： 8. 解析:由题意可知$ f(0)f(1)＜0 $，所以根据函数零点存在定理可得$ f(x) $在区间$ (0,1) $上一定有零点.又$ f(1)f(2)＞0 $，无法判断$ f(x) $在区间$ (1,2) $上是否有零点，在区间$ (1,2) $上可能有零点.故选ABD.

9. 某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过 $ 0.1\% $，而这种溶液最初的杂质含量为 $ 2\% $，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 $ \dfrac{1}{3} $，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(BC)(参考数据：$ \lg 2 \approx 0.301 $，$ \lg 3 \approx 0.477 $)

A.6
B.9
C.8
D.7

答案： 9. 解析:设经过$ n $次过滤，产品达到市场要求，则$ \frac{2}{100}×\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\leq\frac{1}{1000} $，即$ \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\leq\frac{1}{20} $，则$ n\lg\frac{2}{3}\leq-\lg20 $，即$ n(\lg2 - \lg3)\leq-(1 + \lg2) $，解得$ n\geq\frac{1 + \lg2}{\lg3 - \lg2}\approx7.4 $.故选BC.

10. 为预防秋冬季流感，学校每天定时对教室喷洒药物消毒。教室内每立方米空气中的含药量 $ y $(单位：$ mg $)随时间 $ x $(单位：$ h $)的变化情况如图所示。在药物释放过程中，$ y $ 与 $ x $ 成正比；药物释放完毕后，$ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为 $ y = 0.3^{x - a} $($ a $ 为常数)，则下列结论中正确的是(ABC)


A.当 $ 0 \leq x \leq 0.2 $ 时，$ y = 5x $
B.当 $ x ＞ 0.2 $ 时，$ y = 0.3^{x - 0.2} $
C.当 $ x = 2 $ 时，教室内每立方米空气中的含药量高于 $ 0.09mg $
D.教室内每立方米空气中的含药量高于 $ 0.3mg $ 的持续时间超过 90 分钟

答案： 10. 解析:当$ 0\leq x\leq0.2 $时，设$ y = kx $，则$ 1 = 0.2k $，故$ k = 5 $，则$ y = 5x $，故选项A正确.当$ x ＞ 0.2 $时，把$ (0.2,1) $代入$ y = 0.3^{x - a} $，可得$ 1 = 0.3^{0.2 - a} $，则$ a = 0.2 $，即$ y = 0.3^{x - 0.2} $，故选项B正确.当$ x = 2 $时，$ y = 0.3^{2 - 0.2}=0.3^{1.8}＞0.3^{2}=0.09 $，故选项C正确.当$ 0\leq x\leq0.2 $时，由$ 5x ＞ 0.3 $得$ x ＞ \frac{0.3}{5}=0.06 $.当$ x ＞ 0.2 $时，由$ 0.3^{x - 0.2}＞0.3 $得$ x - 0.2 ＜ 1 $，即$ x ＜ 1.2 $，则$ 1.2 - 0.06 = 1.14 $，$ 1.14 $小时$ = 68.4 $分钟，故选项D错误.故选ABC.

11. 已知 $ f(x) $ 为偶函数，当 $ x \leq 0 $ 时，$ f(x) = -(x + 1)^2 + 1 $，则满足 $ f[f(a)] = \dfrac{1}{2} $ 的实数 $ a $ 的个数为8。

答案：
11. 解析:令$ f(a)=t $，故$ f(t)=\frac{1}{2} $，如图所示，该方程有4个实根，即$ t = x_{1} $，$ t = x_{2} $，$ t = x_{3} $，$ t = x_{4} $， 即$ f(a)=x_{1} $，$ f(a)=x_{2} $，$ f(a)=x_{3} $，$ f(a)=x_{4} $.又$ - 2 ＜ x_{1} ＜ - 1 ＜ x_{2} ＜ 0 ＜ x_{3} ＜ 1 ＜ x_{4} ＜ 2 $，故$ f(a)=x_{1} $有两个实根，$ f(a)=x_{2} $有两个实根，$ f(a)=x_{3} $有四个实根，$ f(a)=x_{4} $无实根，综上，满足条件的实数$ a $共有8个.

12. 已知 $ f(x) = m(x - m)(x + 2m + 1) $，$ g(x) = 4^x - 2 $，若对任意 $ x \in \mathbf{R} $，$ f(x) ＜ 0 $ 或 $ g(x) ＜ 0 $，则 $ m $ 的取值范围是$ -\frac{3}{4}＜m＜0 $。

答案：
12. 解析:若$ m ＞ 0 $，则二次函数$ f(x) $开口向上，显然不满足要求.另外当$ m ＜ 0 $时，要对任意$ x\in\mathbf{R} $，$ f(x)＜0 $或$ g(x)＜0 $，则函数$ f(x) $的两个零点需在点$ A $的左侧，易得$ A\left(\frac{1}{2},0\right) $，所以$ m ＜ \frac{1}{2} $，且$ - 2m - 1 ＜ \frac{1}{2} $，解得$ m ＞ -\frac{3}{4} $.综上可得，$ -\frac{3}{4}＜m＜0 $.

13. 已知定义在区间 $ [0, 4] $ 上的函数 $ f(x) = \ln(2e^x + 4x - a) $，若存在 $ m \in [0, 2] $ 使 $ f[f(m)] = m $ 成立，则 $ a $ 的取值范围为$ 1\leq a ＜ 2 $。

答案： 13. 解析:函数$ f(x)=\ln(2e^{x}+4x - a) $在区间$ [0,2] $上单调递增，则存在$ m\in[0,2] $使$ f[f(m)] = m $成立，等价于方程$ f(m)=m $在$ [0,2] $上有解.由$ \ln(2e^{x}+4x - a)=m $得方程$ a = e^{m}+4m $在$ [0,2] $上有解，则$ a\in[1,e^{2}+8] $.又当$ x\in[0,4] $时，$ 2e^{x}+4x - a ＞ 0 $，所以$ 2 - a ＞ 0 $，即$ a ＜ 2 $.综上，$ 1\leq a ＜ 2 $.

14. 某种出口产品的关税税率为 $ t $，市场价格 $ x $（单位：千元）与市场供应量 $ p $（单位：万件）之间近似满足关系式：$ p = 2^{(1 - kt)(x - b)^2} $，其中 $ k $，$ b $ 均为常数。当关税税率 $ t = 75\% $ 时，若市场价格为 5 千元，则市场供应量约为 1 万件；若市场价格为 7 千元，则市场供应量约为 2 万件。
(1) 试确定 $ k $，$ b $ 的值；
(2) 市场需求量 $ q $（单位：万件）与市场价格 $ x $（单位：千元）近似满足关系式：$ q = 2^{-x} $，当 $ p = q $ 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过 4 千元时，试确定关税税率的最大值。

答案： 14. 解析:
(1)由已知得$ \begin{cases}1 = 2^{(1 - 0.75k)(5 - b)^{2}},\\2 = 2^{(1 - 0.75k)(7 - b)^{2}},\end{cases} $即$ \begin{cases}(1 - 0.75k)(5 - b)^{2}=0,\\(1 - 0.75k)(7 - b)^{2}=1,\end{cases} $解得$ b = 5 $，$ k = 1 $.
(2)当$ p = q $时，$ 2^{(1 - t)(x - 5)^{2}}=2^{-x} $，则$ (1 - t)(x - 5)^{2}=-x $，则$ t = 1 + \frac{x}{(x - 5)^{2}}=1 + \frac{1}{x + \frac{25}{x}-10} $.设$ f(x)=x + \frac{25}{x} $，则$ f(x) $在$ (0,4] $上单调递减，所以当$ x = 4 $时，$ f(x) $有最小值$ \frac{41}{4} $，故当$ x = 4 $时，关税税率的最大值为$ 500\% $.