《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

$16. $计算下列各式的值$.$　　

答案： 解析：（1）原式$= \log_{5}\frac{250 × 7}{14} + \log_{\frac{1}{2}}2 = \log_{5}5^{3} - 1 = 2$。（2）（方法 1）原式$= \left(\log_{2}5^{3} + \frac{\log_{2}25}{\log_{2}4} + \frac{\log_{2}5}{\log_{2}8}\right)\left(\log_{5}2 + \frac{\log_{5}4}{\log_{5}25} + \frac{\log_{5}8}{\log_{5}125}\right) = \left(3\log_{2}5 + \frac{2\log_{2}5}{2\log_{2}2} + \frac{\log_{2}5}{3\log_{2}2}\right)\left(\log_{5}2 + \frac{2\log_{5}2}{2\log_{5}5} + \frac{3\log_{5}2}{3\log_{5}5}\right) = \left(3 + 1 + \frac{1}{3}\right)\log_{2}5 · (3\log_{5}2) = 13\log_{2}5 · \frac{\log_{2}2}{\log_{2}5} = 13$。（方法 2）原式$= \left(\frac{\lg 125}{\lg 2} + \frac{\lg 25}{\lg 4} + \frac{\lg 5}{\lg 8}\right)\left(\frac{\lg 2}{\lg 5} + \frac{\lg 4}{\lg 25} + \frac{\lg 8}{\lg 125}\right) = \left(\frac{3\lg 5}{\lg 2} + \frac{2\lg 5}{2\lg 2} + \frac{\lg 5}{3\lg 2}\right)\left(\frac{\lg 2}{\lg 5} + \frac{2\lg 2}{2\lg 5} + \frac{3\lg 2}{3\lg 5}\right) = \left(\frac{13\lg 5}{3\lg 2}\right)\left(\frac{3\lg 2}{\lg 5}\right) = 13$。

17. 已知 $ a $，$ b $，$ c $ 是不等于 1 的正数，且 $ a^{x}=b^{y}=c^{z} $，$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 $，求 $ a b c $ 的值.

答案： 解析：（方法 1）由于$a^{x} = b^{y} = c^{z}$，$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$，所以$x$，$y$，$z \neq 0$，$a^{x} = b^{y} = c^{z} \neq 1$。设$a^{x} = b^{y} = c^{z} = t(t ＞ 0)$，则$x = \log_{a}t$，$y = \log_{b}t$，$z = \log_{c}t$。所以$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{\log_{a}t} + \frac{1}{\log_{b}t} + \frac{1}{\log_{c}t} = \log_{t}a + \log_{t}b + \log_{t}c = \log_{t}(abc) = 0$。所以$abc = 1$。（方法 2）设$a^{x} = b^{y} = c^{z} = t(t ＞ 0)$，则$x = \frac{\lg t}{\lg a}$，$y = \frac{\lg t}{\lg b}$，$z = \frac{\lg t}{\lg c}$，所以$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{\lg a}{\lg t} + \frac{\lg b}{\lg t} + \frac{\lg c}{\lg t} = \frac{\lg(abc)}{\lg t} = 0$，所以$abc = 1$。

18. 已知 $ \log$${x} y-\log$${x} a-\log$${a} x=1(a＞1) $，设 $ x=a^{t} $.
(1) 用 $ a $，$ t $ 表示 $ y $；
(2) 当 $ y $ 的最小值为 8 时，求取得最小值时 $ a $ 和 $ x $ 的取值.

答案： 解析：（1）原等式即$\frac{\log_{a}y}{\log_{a}x} - \frac{1}{\log_{a}x} - \log_{a}x = 1$，所以$\log_{a}y = (\log_{a}x)^{2} + \log_{a}x + 1$。因为$x = a^{t}$，则$\log_{a}x = t$，进一步有$\log_{a}y = t^{2} + t + 1$，所以$y = a^{t^{2} + t + 1} = a^{\left(t + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}}(a ＞ 1)$。（2）由（1）可得当$t = -\frac{1}{2}$时，$y_{\min} = a^{\frac{3}{4}} = 8$，解得$a = 16$，即$x = \frac{1}{4}$。

19. 已知正实数 $ u $，$ v $，$ w $ 均不等于 1，若 $ \log$${u} v w+\log$${v} w=5 $，$ \log$${v} u+\log$${w} v=3 $，求 $ \log$${w} u $ 的值.

答案： 解析：令$\log_{u}v = a$，$\log_{u}w = b$，则$\log_{v}u = \frac{1}{a}$，$\log_{w}v = \frac{1}{b}$，则$\log_{u}(vw) = \log_{u}v + \log_{u}v · \log_{v}w = a + ab$，即$a + ab + b = 5$，$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3$，则$ab = \frac{5}{4}$，因此$\log_{w}u = \log_{w}v · \log_{v}u = \frac{4}{5}$。