《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

变式 若函数 $ y = \log_{a}(x^{2} - 3ax + a) $ 的值域为 $ \mathbf{R} $，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 要使函数$ y = \log_{a}(x^{2} - 3ax + a) $的值域为$ \mathbf{R} $，需满足以下条件：
1. 对数函数底数要求：$ a ＞ 0 $且$ a \neq 1 $；
2. 内层函数$ g(x) = x^{2} - 3ax + a $的值域需包含$ (0, +\infty) $。由于$ g(x) $为开口向上的二次函数，其值域包含$ (0, +\infty) $等价于判别式$ \Delta \geq 0 $，即：
$ \Delta = (-3a)^{2} - 4 × 1 × a = 9a^{2} - 4a \geq 0 $
解不等式$ 9a^{2} - 4a \geq 0 $，得$ a \leq 0 $或$ a \geq \frac{4}{9} $；
3. 结合条件1，$ a ＞ 0 $且$ a \neq 1 $，故$ a \geq \frac{4}{9} $且$ a \neq 1 $。
综上，实数$ a $的取值范围是$ \left\{ a \mid a \geq \frac{4}{9} 且 a \neq 1 \right\} $。

【例 2】设 $ a = \log_{0.3}0.7 $，$ b = \log_{3}0.7 $，则()

A.$ a + b ＜ 0 ＜ ab $
B.$ ab ＜ 0 ＜ a + b $
C.$ ab ＜ a + b ＜ 0 $
D.$ a + b ＜ ab ＜ 0 $

答案： C

变式 下列命题中正确的是()

A.若 $ \ln b - \ln a = \frac{1}{a} - \frac{3}{b} $，则 $ 0 ＜ a ＜ b $
B.若 $ \ln b - \ln a = \frac{1}{a} - \frac{3}{b} $，则 $ a ＞ b ＞ 0 $
C.若 $ \ln b - \ln a = \frac{3}{b} - \frac{1}{a} $，则 $ 0 ＜ a ＜ b $
D.若 $ \ln b - \ln a = \frac{3}{b} - \frac{1}{a} $，则 $ a ＞ b ＞ 0 $

答案： C

【例 3】已知函数 $ y = \log_{a}(x - c)(a, c $ 为常数，其中 $ a ＞ 0 $，$ a \neq 1) $ 的图象如图，则下列结论中成立的是()


A.$ a ＞ 1 $，$ c ＜ -1 $
B.$ a ＞ 1 $，$ -1 ＜ c ＜ 0 $
C.$ 0 ＜ a ＜ 1 $，$ c ＜ -1 $
D.$ 0 ＜ a ＜ 1 $，$ -1 ＜ c ＜ 0 $

答案： D

变式 若方程 $ 4^{x} = \log_{a}x $ 在 $ (0, \frac{1}{2}] $ 上有解，则实数 $ a $ 的取值范围为。

答案： $0 ＜ a \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$