《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

17. 某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为 $ m $ 的药剂后，经过 $ x $ 天该药剂在水中释放的浓度 $ y $（毫克/升）满足 $ y = mf(x) $，其中 $ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{16} + 2,0 \lt x \leq 4, \\ \dfrac{x + 14}{2x - 2},x \gt 4, \end{cases} $ 当药剂在水中释放的浓度不低于 4（毫克/升）时称为“有效净化”；当药剂在水中释放的浓度不低于 4（毫克/升）且不高于 10（毫克/升）时称为“最佳净化”.
(1) 如果投放的药剂质量 $ m = 4 $，试问自来水达到“有效净化”一共可持续几天？
(2) 如果投放的药剂质量为 $ m $，为了使在 7 天（从投放药剂算起，包括第 7 天）之内的自来水达到“最佳净化”，试确定应该投放的药剂质量 $ m $ 的最小值.

答案： 17. 解析:
(1)由题意,当药剂质量$m = 4$时,
$y = 4f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{4} + 8, & 0 ＜ x \leq 4, \\ \frac{2x + 28}{x - 1}, & x ＞ 4. \end{cases} $
当$0 ＜ x \leq 4$时,$\frac{x^2}{4} + 8 \geq 4$显然符合题意.
当$x ＞ 4$时,$\frac{2x + 28}{x - 1} \geq 4$,解得$4 ＜ x \leq 16$,
综上可得$0 ＜ x \leq 16$,所以自来水达到“有效净化”一共可持续$16$天.
(2)因为$y = m · f(x) = \begin{cases} \frac{mx^2}{16} + 2m, & 0 ＜ x \leq 4, \\ \frac{m(x + 14)}{2x - 2}, & x ＞ 4, \end{cases} $
所以在区间$(0, 4)$上单调递增,即$2m ＜ y \leq 3m$;
在区间$(4, 7)$上单调递减,即$\frac{7m}{4} \leq y ＜ 3m$,
综上,$\frac{7m}{4} \leq y \leq 3m$.
为使$4 \leq y \leq 10$恒成立,只要$\frac{7m}{4} \geq 4$且$3m \leq 10$即可,即$\frac{16}{7} \leq m \leq \frac{10}{3}$,所以应该投放的药剂质量$m$的最小值为$\frac{16}{7}$.