《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

变式 已知$|\cos \theta | = \cos \theta$，$|\tan \theta | = -\tan \theta$，则$\dfrac{\theta }{2}$的终边在()

A.第二、四象限
B.第一、三象限
C.第一、三象限或$x$轴上
D.第二、四象限或$x$轴上

答案： D

【例 3】求下列函数的定义域：
(1)$y = \dfrac{\sin x + \cos x}{\tan x}$；
(2)$y = \lg (2\sin x - 1) + \sqrt{1 - 2\cos x}$。

答案：
(1)要使函数$y = \dfrac{\sin x + \cos x}{\tan x}$有意义，需满足$\tan x$有意义且$\tan x\neq 0$。
$\tan x$有意义时，$x\neq \dfrac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbf{Z}$；$\tan x\neq 0$时，$x\neq k\pi,k\in \mathbf{Z}$。
所以函数定义域为$\left\{x\left\vert x\neq \dfrac{k\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right.\right\}$。
(2)要使函数$y = \lg (2\sin x - 1) + \sqrt{1 - 2\cos x}$有意义，需满足$\left\{\begin{array}{l}2\sin x - 1 ＞ 0\\1 - 2\cos x \geq 0\end{array}\right.$。
由$2\sin x - 1 ＞ 0$得$\sin x ＞ \dfrac{1}{2}$，解得$2k\pi + \dfrac{\pi }{6} ＜ x ＜ 2k\pi + \dfrac{5\pi }{6},k\in \mathbf{Z}$；
由$1 - 2\cos x \geq 0$得$\cos x \leq \dfrac{1}{2}$，解得$2k\pi + \dfrac{\pi }{3} \leq x \leq 2k\pi + \dfrac{5\pi }{3},k\in \mathbf{Z}$。
取交集得函数定义域为$\left\{x\left\vert 2k\pi + \dfrac{\pi }{3} \leq x ＜ 2k\pi + \dfrac{5\pi }{6},k\in \mathbf{Z}\right.\right\}$。

【例 4】求下列各式的值。
(1)$\cos \left(-\dfrac{7\pi }{4}\right)$；
(2)$\tan \left(\dfrac{13\pi }{6}\right)$；
(3)$\sin {810}^{\circ } + \tan {1485}^{\circ } - \cos {360}^{\circ }$。

答案：
(1)$\cos \left(-\dfrac{7\pi }{4}\right)=\cos \left(-2\pi +\dfrac{\pi }{4}\right)=\cos \dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(2)$\tan \left(\dfrac{13\pi }{6}\right)=\tan \left(2\pi +\dfrac{\pi }{6}\right)=\tan \dfrac{\pi }{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(3)$\sin {810}^{\circ }+\tan {1485}^{\circ }-\cos {360}^{\circ }$
$=\sin (2× {360}^{\circ }+{90}^{\circ })+\tan (4× {360}^{\circ }+{45}^{\circ })-\cos {360}^{\circ }$
$=\sin {90}^{\circ }+\tan {45}^{\circ }-\cos {360}^{\circ }$
$=1 + 1 - 1=1$

【例 5】已知角$\alpha$是第三象限角，试判断$\sin (\cos \alpha )$，$\cos (\sin \alpha )$的符号。

答案： 因为角α是第三象限角，所以-1＜sinα＜0，-1＜cosα＜0。
因为cosα∈(-1,0)，所以角cosα是第四象限角，因此sin(cosα)＜0。
因为sinα∈(-1,0)，所以角sinα是第四象限角，因此cos(sinα)＞0。
综上，sin(cosα)的符号为负，cos(sinα)的符号为正。

变式 $\sin 1$，$\cos 1$，$\tan 1$的大小关系为()

A.$\tan 1 ＞ \sin 1 ＞ \cos 1$
B.$\sin 1 ＞ \tan 1 ＞ \cos 1$
C.$\sin 1 ＞ \cos 1 ＞ \tan 1$
D.$\tan 1 ＞ \cos 1 ＞ \sin 1$

答案： A