《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 3】心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定.分析结果和实验表明，设提出和讲述概念的时间为$x$（单位：分），学生的接受能力为$f(x)$（$f(x)$的值越大，表示接受能力越强），
$f(x)=\begin{cases}-0.1x^2 + 2.6x + 44,0\lt x\leq10,\\60,10\lt x\leq15,\\-3x + 105,15\lt x\leq25,\\30,25\lt x\leq40\end{cases}$
(1)老师开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
(2)试比较开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟，学生的接受能力的大小；
(3)若一个数学难题，需要至少 56 的接受能力以及 12 分钟的讲述时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？

答案：
(1)当0＜x≤10时，f(x)=-0.1(x-13)²+60.9，x=10时，f(x)=60；10＜x≤15时，f(x)=60。故开讲后10分钟接受能力最强，维持5分钟。
(2)f
(5)=-0.1×5²+2.6×5+44=54.5；f
(20)=-3×20+105=45；f
(35)=30。接受能力大小：5分钟＞20分钟＞35分钟。
(3)0＜x≤10时，由-0.1x²+2.6x+44≥56解得6≤x≤10；10＜x≤15时，f(x)=60≥56；15＜x≤25时，由-3x+105≥56解得x≤49/3。综上，6≤x≤49/3，时长49/3-6=31/3＜12，不能。

【例 4】用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.现作如下假定：用$x$个单位的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数$f(x)=\frac{2}{2 + x^2}$.
(1)①试解释$f(0)$与$f(1)$的实际意义；
②写出函数$f(x)$应该满足的条件和具有的性质.
(2)现有$a$（$a\gt0$）个单位的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗两次.哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由.

答案：
(1)①$f(0)=1$，表示没有用水清洗时，蔬菜上残留的农药量与清洗前的农药量之比为1（即农药量不变）；$f(1)=\frac{2}{3}$，表示用1个单位的水清洗一次后，残留农药量与清洗前的比例为$\frac{2}{3}$。
②函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，且$0＜f(x)\leq1$。
(2)设清洗前农药量为1。
一次清洗后残留量：$W_1=f(a)=\frac{2}{2+a^2}$。
分两次清洗，每次用$\frac{a}{2}$单位水，第一次残留$f(\frac{a}{2})=\frac{8}{8+a^2}$，第二次残留$W_2=\left(\frac{8}{8+a^2}\right)^2=\frac{64}{(8+a^2)^2}$。
$W_1-W_2=\frac{2}{2+a^2}-\frac{64}{(8+a^2)^2}=\frac{2a^2(a^2-16)}{(2+a^2)(8+a^2)^2}$。
因为$a＞0$，分母恒正，分子$2a^2＞0$，则：
当$a＞4$时，$W_1＞W_2$，分两次清洗残留少；
当$a=4$时，$W_1=W_2$，效果相同；
当$0＜a＜4$时，$W_1＜W_2$，一次清洗残留少。
综上，当$a＞4$时，水平均分成2份清洗两次；当$a=4$时，两种方案效果相同；当$0＜a＜4$时，用$a$单位水清洗一次。