《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

$[$例$6]$求下列函数的定义域$.$　　
$(1)$已知函数$f(x)$的定义域为$(0,1),$求　　
$f(x²)$的定义域$;$　　
$(2)$已知函数$f(2x+1)$的定义域为　　
$(0,1),$求$f(x)$的定义域$;$　　
$(3)$若函数$f(x)$的定义域为$[−3,5],$求　　
$(x)=f($一$x)+f(2x+5)$的定义域$.$　　

答案：
(1) 因为函数$f(x)$的定义域为$(0,1)$，所以对于$f(x^2)$，有$0 ＜ x^2 ＜ 1$，解得$-1 ＜ x ＜ 0$或$0 ＜ x ＜ 1$，故$f(x^2)$的定义域是$(-1,0) \cup (0,1)$。
(2) 函数$f(2x + 1)$的定义域为$(0,1)$，即$0 ＜ x ＜ 1$，则$1 ＜ 2x + 1 ＜ 3$，所以$f(x)$的定义域是$(1,3)$。
(3) 函数$f(x)$的定义域为$[-3,5]$，对于$P(x) = f(-x) + f(2x + 5)$，需满足$\begin{cases}-3 \leq -x \leq 5 \\ -3 \leq 2x + 5 \leq 5\end{cases}$，解$-3 \leq -x \leq 5$得$-5 \leq x \leq 3$，解$-3 \leq 2x + 5 \leq 5$得$-4 \leq x \leq 0$，取交集得$-4 \leq x \leq 0$，故$P(x)$的定义域是$[-4,0]$。

【例 7】已知定义在$\mathbf{R}$上的非负函数$f(x)$，满足$f(1)=2$，且$f(a + b)=f(a)f(b)$，$a,b\in\mathbf{R}$，则$\frac{f(1)}{f(0)}+\frac{f(2)}{f(1)}+\frac{f(3)}{f(2)}+·s+\frac{f(2024)}{f(2023)}+\frac{f(2025)}{f(2024)}=$______。

答案： 4050

变式$ $定义在$[0,$十$∞o)$上的函数$y=$　　
$f(x)$满足$:(1)f(2)=0;(2)$当$0＜x＜2$时，　　
$f(x)≠0;(3)$对任意的$x,y＞0,$总有$∮((x$十　　
$y)=f(x.f(y)).f(y)$成立$,$则$f(3)+$　　
$f(\frac{1}{2})−$　　$.$　　

答案： 4/3

$[$例$8](1)$已知$f(x+\frac{1}{x}${$=x²+\frac{1}{x²}，$求　　
$f(x)$的解析式$;$　　
$(2)$已知函数$f(x−1)=x²−4x,$求函数　　
$f(x),f(2x+1)$的解析式$;$　　
$(3)$已知$f(x)$是二次函数$,$且$f(x+1)$　　
$+f(x−1)=2x²−4x,$求$f(x)$的解析式$;$　　
$(4)$已知函数$f(x)$满足$2f(x)+f($一$x)$　　
$=3x+4,$则$f(x)=$　　$.$　　

答案：
(1)令$ t = x + \frac{1}{x} $，当$ x ＞ 0 $时，$ t \geq 2 $；当$ x ＜ 0 $时，$ t \leq -2 $，故$ t \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) $。又$ f(x + \frac{1}{x}) = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 $，则$ f(t) = t^2 - 2 $，因此$ f(x) = x^2 - 2 $，$ x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) $。
(2)令$ t = x - 1 $，则$ f(t) = t^2 - 2t - 3 $，故$ f(x) = x^2 - 2x - 3 $；$ f(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 2(2x + 1) - 3 = 4x^2 - 4 $。
(3)设$ f(x) = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $，则$ f(x + 1) + f(x - 1) = 2ax^2 + 2bx + 2a + 2c = 2x^2 - 4x $，即$ ax^2 + bx + a + c = x^2 - 2x $，解得$ a = 1 $，$ b = -2 $，$ c = -1 $，故$ f(x) = x^2 - 2x - 1 $。
(4)由$ 2f(x) + f(-x) = 3x + 4 $①，得$ 2f(-x) + f(x) = -3x + 4 $②，② - 2×①得$ -3f(x) = -9x - 4 $，故$ f(x) = 3x + \frac{4}{3} $。