《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 8】已知函数 $ f(x) = \frac{1}{a^{x} - 1} + \frac{1}{2}(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $，$ g(x) = \frac{1 - x}{1 + x} $。
(1) 判断函数 $ f(x) $ 的奇偶性并说明理由；
(2) 当 $ a ＞ 1 $，$ x ＞ 1 $ 时，求证：$ f(x) + g(x) ＞ -\frac{1}{2} $；
(3) 若不等式 $ f(x)g(x - 1) ＜ 2 - f(x) $ 对满足 $ |x| \geqslant 1 $ 的任一实数 $ x $ 都成立，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案：
(1) 定义域为$\{x|x \neq 0\}$，关于原点对称。$f(-x)=\frac{1}{a^{-x}-1}+\frac{1}{2}=\frac{a^x}{1-a^x}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{a^x -1}-\frac{1}{2}=-f(x)$，故$f(x)$为奇函数。
(2) $f(x)+g(x)=\frac{1}{a^x -1}+\frac{1}{2}+\frac{1 - x}{1 + x}=\frac{1}{a^x -1}+\frac{2}{1 + x}-\frac{1}{2}$。因为$a＞1$，$x＞1$，所以$a^x -1＞0$，$1 + x＞0$，则$\frac{1}{a^x -1}＞0$，$\frac{2}{1 + x}＞0$，因此$f(x)+g(x)＞-\frac{1}{2}$。
(3) 不等式可化为$f(x)·\frac{2 - x}{x}＜2 - f(x)$，即$\frac{2f(x)}{x}＜2$，得$\frac{f(x)}{x}＜1$。令$F(x)=\frac{f(x)}{x}$，$F(x)$为偶函数，只需$x\geq1$时$F(x)＜1$。
当$a＞1$时，$f(x)$在$[1,+\infty)$递减，$F(x)$递减，$F(1)=\frac{1}{a - 1}+\frac{1}{2}＜1$，解得$a＞3$。
当$0＜a＜1$时，$x\geq1$时$f(x)＜0$，$F(x)=\frac{f(x)}{x}＜0＜1$恒成立。
综上，$a\in(0,1)\cup(3,+\infty)$。