《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

19. 已知关于$x$的方程$2x^{2} - (\sqrt{3} + 1)x + m = 0$的两根为$\sin \theta$和$\cos \theta$，$\theta \in (0,2\pi )$，求：
(1)$\dfrac{\sin ^{2}\theta }{\sin \theta - \cos \theta } + \dfrac{\cos \theta }{1 - \tan \theta }$的值；
(2)$m$的值；
(3)方程的根及此时$\theta$的值。

答案： 19. 解析:
(1)$\frac{\sin^{2}\theta}{\sin\theta-\cos\theta}+\frac{\cos\theta}{1-\tan\theta}=\frac{\sin^{2}\theta}{\sin\theta-\cos\theta}+\frac{\cos\theta}{1-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}=\frac{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=\sin\theta+\cos\theta$。
由韦达定理知$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故原式$=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
(2)因为$\sin\theta\cos\theta=\frac{m}{2}$，即$m = 2\sin\theta\cos\theta$。
将$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$两边平方得$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(3)当$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，原方程的两个根为$\begin{cases}\sin\theta=\frac{1}{2},\\\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\\\cos\theta=\frac{1}{2}\end{cases}$因此$\theta=\frac{\pi}{6}$或$\theta=\frac{\pi}{3}$。

20. 已知函数$f(x) = \ln x$，$g(x) = 2^{x}$。
(1)当$f(\sin \alpha ) + f(\cos \alpha ) = f\left(\dfrac{1}{3}\right)$时，求$\sin \alpha + \cos \alpha$的值；
(2)当$g^{2}(\sin \alpha ) = g(\cos \alpha )$时，求$\dfrac{3 - \cos ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha } + \tan \alpha$的值。

答案： 20. 解析:
(1)因为$f(\sin\alpha)+f(\cos\alpha)=f(\frac{1}{3})$，
所以$\ln(\sin\alpha)+\ln(\cos\alpha)=\ln\frac{1}{3}$，
即$\begin{cases}\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{3},\\\sin\alpha\gt0,\\\cos\alpha\gt0,\end{cases}$
所以$(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=1 + 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{5}{3}$，
所以$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{3}$。
(2)因为$g^{2}(\sin\alpha)=g(\cos\alpha)$，
所以$(2^{\sin\alpha})^{2}=2^{\cos\alpha}$，即$2\sin\alpha=\cos\alpha$。
又$\cos\alpha\neq0$，故$\tan\alpha=\frac{1}{2}$。
因为$2\sin\alpha=\cos\alpha$，且$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，
解得$\sin^{2}\alpha=\frac{1}{5}$，$\cos^{2}\alpha=\frac{4}{5}$，
所以$\frac{3-\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}+\tan\alpha=\frac{23}{2}$。

1. 已知$a$为定值，关于$\theta$的方程$\sin ^{2}\theta - \cos \theta + a = 0$，$0 \leqslant \theta ＜ 2\pi$。
(1)求$a$的取值范围，使得原方程有解；
(2)讨论原方程的解的个数。

答案： 解析:令$\cos\theta=x$，则$-1\leq x\leq1$，
原方程可化为$x^{2}+x - 1=a$。
令$f(x)=x^{2}+x - 1=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{5}{4}$。
(1)原方程有解求$a$的取值范围，即求函数$f(x)$的值域。而$f(x)=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{5}{4}\in[-\frac{5}{4},1]$。
所以$a$的取值范围是$[-\frac{5}{4},1]$。
(2)因为当$x=-1$时，$\theta=\pi$；当$x = 1$时，$\theta=0$。
当$-1\lt x\lt1$时，每个$x$对应于$(0,2\pi)$内的两个$\theta$。
当$a\lt-\frac{5}{4}$时，$x$无对应值，此时$\theta$有$0$个解；
当$a=-\frac{5}{4}$时，$x=-\frac{1}{2}$，此时$\theta$有$2$个解；
当$-\frac{5}{4}\lt a\lt - 1$时，$-1\lt x\lt0$，每一个$a$都有两个对应的$x$，此时$\theta$有$4$个解；
当$a=-1$时，$x=-1$或$0$，
当$x=-1$时，$\theta$有$1$个解；
当$x = 0$时，$\theta$有$2$个解，故此时$\theta$有$3$个解；
当$-1\lt a\lt1$时，$0\lt x\lt1$，此时$\theta$有$2$个解；
当$a = 1$时，$x = 1$，此时$\theta$有$1$个解；
当$a\gt1$时，$x\gt1$，此时$\theta$有$0$个解。